Question

如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、AD上，且AE⊥BF于G.

（1）求证：BF＝AE；
（2）如图2，当点E在DC延长线上，点F在AD延长线上时，（1）中结论是否成立（直接写结论）；
（3）在图2中，若点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点，且AF:AD＝4:3，求S_{四边形MNPQ}: S_{正方形ABCD}

Answer 1

（1）∵正方形ABCD
∴AD=AB，∠ADC=∠DAB=90°
∴∠DAE+∠ABG=90°
∵AE⊥BF
∴∠ABG+∠GAB=90°
∴∠DAE=∠ABG
∴△ADE≌△BAF
∴BF＝AE；
（2）结论成立；
（3）25：36

试题分析：（1）根据正方形的性质及同角的余角相等即可证得△ADE≌△BAF，问题得证；
（2）证法同（1）；
（3）先根据三角形的中位线定理证得MNPQ为正方形，再舍AD＝3a，则BF＝5a，MQ＝，再根据正方形的面积公式即可得到结果.
（1）∵正方形ABCD
∴AD=AB，∠ADC=∠DAB=90°
∴∠DAE+∠ABG=90°
∵AE⊥BF
∴∠ABG+∠GAB=90°
∴∠DAE=∠ABG
∴△ADE≌△BAF
∴BF＝AE；
（2）结论成立；
（3）∵点M、N分别为四边形AFEB四条边AF、EF的中点，
∴MN∥AE且MN=AE，
同理可证：MQ∥BF且MQ=BF，PQ∥AE且PQ=AE，NP∥BF且NP=BF
∵AE=BF
∴MN=MQ=PQ=NP
∴四边形MNPQ是菱形
∵AE⊥BF
∴∠MQP=90°
∴四边形MNPQ是正方形
设AD＝3a，则BF＝5a　
∴MQ＝
∴S_{四边形MNPQ}：S_正ABCD＝MQ²：AD²＝（）²　：（3a）²＝25：36.
点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.