题目内容
【题目】如图，RtΔABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，∠DAE=45°，将ΔADC绕点A顺时针旋转90°后，得到ΔAFB，连接EF，下列结论：①ΔAED≌ΔAEF，②
，③ΔABC的面积等于四边形AFBD的面积，④
，⑤BE+DC=DE，其中正确的是（ ）
A. ①②④B. ①③④C. ③④⑤D. ①③⑤
【答案】B
【解析】
①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED；
②当△ABE∽△ACD时，该比例式成立；
③根据旋转的性质，△ADC≌△ABF，进而得出△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
④据①知BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．
⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定该说法是否正确．
①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°，∴∠EAF=45°，∴△AED≌△AEF；
故本选项正确；
②∵AB=AC，∴∠ABE=∠ACD；
∴当∠BAE=∠CAD时，△ABE∽△ACD，∴
；
当∠BAE≠∠CAD时，△ABE与△ACD不相似，即
；
∴此比例式不一定成立，故本选项错误；
③根据旋转的性质知△ADC≌△AFB，∴S△ABC=S△ABD+S△ABF=S四边形AFBD，即三角形ABC的面积等于四边形AFBD的面积，故本选项正确；
④∵∠FBE=45°+45°=90°，∴BE2+BF2=EF2．
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD．
又∵EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，故本选项正确；
⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF，∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，即BE+DC＞DE，故本选项错误．
综上所述：正确的说法是①③④．
故选B．
