题目内容
【题目】已知，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在CD的延长线上取一点P，PG与⊙O相切于点G，连接AG交CD于点F．
（Ⅰ）如图①，若∠A＝20°，求∠GFP和∠AGP的大小；
（Ⅱ）如图②，若E为半径OA的中点，DG∥AB，且OA＝2
，求PF的长．
【答案】（Ⅰ）∠GFP＝70°，∠AGP＝70°；（Ⅱ）PF＝4．
【解析】
（Ⅰ）连接OG，在Rt△AEF中，∠A＝20°，可得∠GFP＝∠EFA＝70°，因为OA＝OG，所以∠OGA＝∠A＝20°，因为PG与⊙O相切于点G，得∠OGP＝90°，可得∠AGP＝90°﹣20°＝70°．；
（Ⅱ）如图，连结BG，OG，OD，AD，证明△OAD为等边三角形，得∠AOD＝60°，所以∠AGD＝30°，因为DG∥AB，所以∠BAG＝∠AGD＝30°，在Rt△AGB中可求得AG＝6，在Rt△AEF中可求得AF＝2，再证明△GFP为等边三角形，所以PF＝FG＝AG﹣AF＝6﹣2＝4．
解：（Ⅰ）连接OG，
∵CD⊥AB于E，
∴∠AEF＝90°，
∵∠A＝20°，
∴∠EFA＝90°﹣∠A＝90°﹣20°＝70°，
∴∠GFP＝∠EFA＝70°，
∵OA＝OG，
∴∠OGA＝∠A＝20°，
∵PG与⊙O相切于点G，
∴∠OGP＝90°，
∴∠AGP＝∠OGP﹣∠OGA＝90°﹣20°＝70°．
（Ⅱ）如图，连结BG，OG，OD，AD，
∵E为半径OA的中点，CD⊥AB，
∴OD＝AD＝OA，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AGD＝
∠AOD＝30°，
∵DG∥AB，
∴∠BAG＝∠AGD＝30°，
∵AB为⊙O的直径，OA＝2
，
∴∠AGB＝90°，AB＝4，
∴AG＝ABcos30°＝6，．
∵OG＝OA，
∴∠OGA＝∠BAG＝30°，
∵PG与⊙O相切于点G，∴∠OGP＝90°，
∴∠FGP＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AEF＝90°，AE＝
，∠BAG＝30°，
∴AF＝2，∠GFP＝∠EFA＝60，
∴△GFP为等边三角形，
∴PF＝FG＝AG﹣AF＝6﹣2＝4．
