题目内容
【题目】对于平面直角坐标系
中的任意一点
，给出如下定义：经过点且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点的“特征线”．例如：点
的特征线是
和
．
（1）若点
的其中一条特征线是
，则在
、
、
三个点中，可能是点的点有_______；
（2）已知点
的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与
轴相交于点
，直线
经过点，且与轴交于点
．使
的面积不小于6，求
的取值范围；
（3）已知点
，
，且
的半径为1．当与点
的特征线存在交点时，直接写出
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
且
（或者：
且
）；（3）
．
【解析】
（1）画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可．
（2）过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=-x+b，求出△PAB的面积为6时点B的坐标，再利用待定系数法求直线PB的解析式，结合图形即可解决问题．
（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y=x-2或y=-x+2，设当⊙T与直线y=-x+2相切于点M时，当⊙T′与直线y=x-2相切于点N时，分别求出OT，OT′结合图象即可解决问题．
（1）如图1中，观察图象可知，点D2的特征线是y=x+1．
故答案为D2．
（2）如图2中，
设过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=-x+b，
∴1+b=2，
∴b=1，
∴过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=-x+1，
∴A（1，0），
当△BPA的面积=6时，
AB×2=6，
∴AB=6，
∴B（-5，0）或（7，0），
当y=kx+b′经过P（-1，2），B（-5，0）时，
解得k=，
当直线y=kx+b′经过P（-1，2），B（7，0）时，
，解得k=-
，
观察图形可知满足条件的k的值为-≤k≤且k≠0．
（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y=x-2或y=-x+2，
当⊙T与直线y=-x+2相切于点M时，连接TM，
在Rt△TCM中，∵∠TMC=90°，∠MCT=45°，
∴MT=MC=1，
∴TC=
TM=，
∴OT=2-，此时t=2-．
当⊙T′与直线y=x-2相切于点N时，推出法可得OT′=2+，此时t=2+，
结合图象可知满足条件的t的值为：2-≤≤2+．
