题目内容
【题目】如果
的两个端点
分别在
的两边上(不与点
重合)，并且除端点外的所有点都在的内部，则称是的“连角弧”．
(1)图1中，是直角，是以为圆心，半径为1的“连角弧”．
①图中的长是______，并在图中再作一条以
为端点、长度相同的“连角弧”；
②以为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是_______．
(2)如图2，在平面直角坐标系
中，点
，点
在
轴正半轴上，若是半圆，也是的“连角弧”，求
的取值范围．
(3)如图3，已知点分别在射线
上，
是的“连角弧”，且所在圆的半径为
，直接写出的取值范围．
【答案】(1) ①
，作图见解析；②
；(2) 1≤t≤3；(3) 0°<∠AOB≤30°；
【解析】
(1) ①根据弧长公式计算，即可得到答案；以ON、OM为边长做正方形OMHN，再以H为圆心，OM为半径画弧，即可得到；②根据直径所对的弧长最长，计算即可得到答案；
(2)当MN垂直x轴交x轴于N点时，此时t最小；当MN垂直ON时，此时t最大，分这两种情况分别求出t即可得到t的范围；
(3)分OM⊥MN时，取到角度最大值，计算求解出角度的大小即可得到答案；
(1) ①根据弧长公式得到：
；
以ON、OM为边长做正方形OMHN，再以H为圆心，OM为半径画弧，得到一条以
为端点、长度相同的“连角弧”；作图如下：
②
为端点，取得弧长最长的“连角弧”时，即当圆与OA,和OB分别相切于点M,N点时，
∵OM=ON=1，
∴
，
即以为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是；
(2)当MN垂直x轴交x轴于N点时，此时t最小，如果N再向左，则MN不是直径，即
是半圆，所以如图取得最小值：
∵
，
∴
，并且∠MON=60°，
∴ON=1（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半），
即此时t=1；
当MN垂直ON时，此时t最大，如果N再向右，则是不是半圆，如图t取得最大值：
∵，
∴，并且∠MON=30°，
∴ON=4（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半）；
综上，t的范围是1≤t≤4；
(3) 0°<∠AOB≤30°
【题目】疫情期间，甲、乙、丙、丁4名同学约定周一至周五每天做一组俯卧撑．为了增加趣味性，他们通过游戏方式确定每个人每天的训练计划．
首先，按如图方式摆放五张卡片，正面标有不同的数字代表每天做俯卧撑的个数，反面标有
，
，
，
，
便于记录．
具体游戏规则如下：
甲同学：同时翻开，，将两个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，，，按原顺序记录在表格中；
乙同学：同时翻开，，，将三个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，，按原顺序记录在表格中；
以此类推，到丁同学时，五张卡片全部翻开，并由小到大记录在表格中．
下表记录的是这四名同学五天的训练计划：
星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | |
甲同学 |
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乙同学 |
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丙同学 | |||||
丁同学 |
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根据记录结果解决问题：
（1）补全上表中丙同学的训练计划；
（2）已知每名同学每天至少做30个，五天最多做180个．
①如果
，
，那么所有可能取值为__________________________；
②这四名同学星期_________做俯卧撑的总个数最多，总个数最多为_________个．
【题目】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要的支付方式之一，为了解某校学生上个月
两种移动支付方式的使用情况，从全校
名学生中随机抽取了
人，发现样本中两种支付方式都不使用的有
人，样本中仅使用
种支付方式和仅使用
种支付方式的学生的支付金额
(元)的分布情况如下：
支付金额 支付方式 |
|
|
|
仅使用 |
|
|
|
仅使用 |
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下面有四个推断：
①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A支付方式的概率大于他使用B支付方式的概率；
②根据样本数据估计，全校1000名学生中．同时使用A、B两种支付方式的大约有400人；
③样本中仅使用A种支付方式的同学，上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元；
④样本中仅使用B种支付方式的同学，上个月的支付金额的平均数一定不低于1000元．其中合理的是（ ）
A.①③B.②④C.①②③D.①②③④
