题目内容

已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,0),(5,0),(3,﹣4).

(1)求该二次函数的解析式;
(2)当y>﹣3,写出x的取值范围; 
(3)A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点,且距离为2,点C为二次函数图象上的动点,当点C运动到何处时△ABC的面积最小?求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值.

解:(1)∵点(1,0),(5,0),(3,﹣4)在抛物线上,
,解得
∴二次函数的解析式为:y=x2﹣6x+5。
(2)在y=x2﹣6x+5中,令y=﹣3,即x2﹣6x+5=﹣3,
整理得:x2﹣6x+8=0,解得x1=2,x2=4。
结合函数图象,可知当y>﹣3时,x的取值范围是:x<2或x>4。
(3)设直线y=﹣2x﹣6与x轴,y轴分别交于点M,点N,

令x=0,得y=﹣6;令y=0,得x=﹣2,
∴M(﹣3,0),N(0,﹣6)。
∴OM=3,ON=6,由勾股定理得:MN=

设点C坐标为(x,y),则y=x2﹣6x+5。。
过点C作CD⊥y轴于点D,
则CD=x,OD=﹣y,DN=6+y。
过点C作直线y=﹣2x﹣6的垂线,垂足为E,交y轴于点F,
在Rt△CDF中,DF=CD•tan∠MNO=x,
∴FN=DN﹣DF=6+y﹣x。
在Rt△EFN中,EF=FN•sin∠MNO=(6+y﹣x),
∴CE=CF+EF=x+(6+y﹣x)。
∵C(x,y)在抛物线上,
∴y=x2﹣6x+5,代入上式整理得:CE=(x2﹣4x+11)=(x﹣2)2+
∴当x=2时,CE有最小值,最小值为
当x=2时,y=x2﹣6x+5=﹣3,∴C(2,﹣3)。
∴△ABC的最小面积为: AB•CE=×2×=
∴当C点坐标为(2,﹣3)时,△ABC的面积最小,面积的最小值为

解析试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式。
(2)求出y=3时x的值,结合函数图象,求出y>﹣3时x的取值范围。
(3)△ABC的底边AB长度为2,是定值,因此当AB边上的高最小时,△ABC的面积最小.如解答图所示,由点C向直线y=﹣2x﹣6作垂线,利用三角函数(或相似三角形)求出高CE的表达式,根据表达式求出CE的最小值,这样问题得解。

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网