Question

如图，AC为⊙O的直径，AC=4，B、D分别在AC两侧的圆上，∠BAD=60°，BD与AC的交点为E．

(1)求∠BOD的度数及点O到BD的距离；
(2)若DE=2BE，求的值．

Answer 1

(1)120°,1；（2）.

试题分析：（1）作OF⊥BD于点F，连接OD，根据圆周角定理可得出∠DOB=120°，再由OB=OD=AC=2，可得出∠OBD的度数，也可得出OF的长度；
（2）设BE=2x，则可表示出DF、EF的长度，从而可解出x的值，在Rt△OEF中，利用三角函数值的知识可求出∠OED的度数，从而可得出cos∠OED的值．
试题解析：（1）作OF⊥BD于点F，

∵∠BAD=60°，
∴∠BOD=2∠BAD=120°，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=30°，
∵AC为⊙O的直径，AC=4，
∴OB=OD=2．
在Rt△BOF中，∵∠OFB=90°，OB=2，∠OBF=30°，
∴OF=OB=1，
即点O到BD的距离等于1．
（2）∵OB=OD，OF⊥BD于点F，
∴BF=DF．
由DE=2BE，设BE=2x，则DE=4x，BD=6x，EF=x，BF=3x．
∵BF=OB•cos30°=，
∴x＝，EF=，
在Rt△OEF中，∠OFE=90°，∵tan∠OED=，
∴∠OED=60°，cos∠OED=.
考点: 圆的综合题.