题目内容
在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别用a、b、c表示.
(1)如图1,在△ABC中,∠A=2∠B,∠A=60°,求证:a2=b(b+c);
(2)如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们称这样的三角形为“倍角三角形”.(1)中的三角形是一个特殊的倍角三角形,那么对于任意一个倍角△ABC,且∠A=2∠B,关系式a2=b(b+c)是否仍然成立?请证明你的结论;
(3)在(2)中,若∠B=36°,b=1,直接填空:a= ,cos36°= (若结果是无理数,请用无理数表示).
(4)应用(3)的结论,解答下面问题:如图2,一厂房屋顶人字架是等腰△ABC,其跨度BC=10m,∠B=∠C=36°,中柱AD⊥BC于D,则上弦AB的长是 m.(可能用到的数:
≈2.24,
≈2.45,
≈2.65)
(1)如图1,在△ABC中,∠A=2∠B,∠A=60°,求证:a2=b(b+c);
(2)如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们称这样的三角形为“倍角三角形”.(1)中的三角形是一个特殊的倍角三角形,那么对于任意一个倍角△ABC,且∠A=2∠B,关系式a2=b(b+c)是否仍然成立?请证明你的结论;
(3)在(2)中,若∠B=36°,b=1,直接填空:a=
(4)应用(3)的结论,解答下面问题:如图2,一厂房屋顶人字架是等腰△ABC,其跨度BC=10m,∠B=∠C=36°,中柱AD⊥BC于D,则上弦AB的长是
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考点:解直角三角形的应用,勾股定理,解直角三角形
专题:
分析:(1)根据已知可求得各角的度数,再根据三角函数求得各边的关系,从而不难得到结论.
(2)根据已知表示各角的度数,再根据正弦定理对式子进行整理,从而得到结论;
(3)画出图形,根据a2=b(b+c),a=c,b=1,可求出a,继而可得出cos36°的值.
(4)先求出BD,再由cos36°的值可得出AB.
(2)根据已知表示各角的度数,再根据正弦定理对式子进行整理,从而得到结论;
(3)画出图形,根据a2=b(b+c),a=c,b=1,可求出a,继而可得出cos36°的值.
(4)先求出BD,再由cos36°的值可得出AB.
解答:(1)证明:∵∠A=2∠B,∠A=60°
∴∠B=30°,∠C=90°
∴c=2b,a=
b
∴a2=3b2=b(b+c).
(2)解:关系式a2=b(b+c)仍然成立.
证明:∵∠A=2∠B
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-3∠B
由正弦定理得
=
=
=2R,
即a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
∴b(b+c)=2RsinB(2RsinB+2RsinC),
=4R2sinB[sinB+sin(180°-3∠B)]
=4R2sinB(sinB+sin3∠B)
=4R2sinB(2sin2BcosB)
=4R2sin2B×sin2B
=4R2sin22B
又∵a2=4R2sin2A=4R2sin22B
∴a2=b(b+c)
(3)如图所示:
∵a2=b(b+c),a=c,b=1,
∴a=
,
设AD=x,则BD=
-x,
则AC2-AD2=BC2-BD2,即1-x2=(
)2-(
-x)2,
解得:x=
,BD=
-
,
故cos36°=
=
;
(4)由题意得,BD=
BC=5m,
则AB=
=
=5(
-1)≈6.2米.
∴∠B=30°,∠C=90°
∴c=2b,a=
3 |
∴a2=3b2=b(b+c).
(2)解:关系式a2=b(b+c)仍然成立.
证明:∵∠A=2∠B
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-3∠B
由正弦定理得
a |
sinA |
b |
sinB |
c |
sinC |
即a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
∴b(b+c)=2RsinB(2RsinB+2RsinC),
=4R2sinB[sinB+sin(180°-3∠B)]
=4R2sinB(sinB+sin3∠B)
=4R2sinB(2sin2BcosB)
=4R2sin2B×sin2B
=4R2sin22B
又∵a2=4R2sin2A=4R2sin22B
∴a2=b(b+c)
(3)如图所示:
∵a2=b(b+c),a=c,b=1,
∴a=
| ||
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设AD=x,则BD=
| ||
2 |
则AC2-AD2=BC2-BD2,即1-x2=(
| ||
2 |
| ||
2 |
解得:x=
1 | ||
|
| ||
2 |
1 | ||
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故cos36°=
BD |
BC |
1+
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4 |
(4)由题意得,BD=
1 |
2 |
则AB=
BD |
cos36° |
20 | ||
1+
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点评:本题考查了勾股定理、解直角三角形及正弦定理的内容,综合考察的知识点较多,难度较大,解答本题需要同学们能活学活用.
练习册系列答案
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甲、乙两个学习小组各有4名同学,在某次测验中,他们的得分情况如下表所示:
设两组同学得分的平均数依次为
甲,
乙,得分的方差依次为
,
,则下列关系中完全正确的是( )
组员1 | 组员2 | 组员3 | 组员4 | |
甲 | 88 | 95 | 97 | 100 |
乙 | 90 | 94 | 97 | 99 |
. |
x |
. |
x |
S | 2 甲 |
S | 2 乙 |
A、
| ||||||||
B、
| ||||||||
C、
| ||||||||
D、
|
下列各数是无理数的是( )
A、-1 | ||
B、3.1314 | ||
C、
| ||
D、
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