题目内容
如图,已知一次函数y=-
x+6与坐标轴交于A、B点,AE是∠BAO的平分线,过点B作BE⊥AE,垂足为E,过E作x轴的垂线,垂足为M.
(1)求证:M为OB的中点;
(2)求以E为顶点,且经过点A的抛物线解析式.
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(1)求证:M为OB的中点;
(2)求以E为顶点,且经过点A的抛物线解析式.
解法一:
(1)证明:延长BF交y轴于F点.如图:
∵AE是∠BAO的平分线,
∴∠1=∠2,
∵BE⊥AE,
∴∠AFB=∠ABF,
∴AF=AB,(1分)
∴BE=FE,(1分)
∵ME∥AF,
∴
=
,(1分)
∴OM=MB,即M为OB的中点;(1分)
(2)∵一次函数y=-
x+6与坐标轴交于A、B点,
∴A(0,6),B(8,0),
∴OM=4,AB=AF=10,(2分)
∴OF=4,
∴ME=2,(1分)
∴E(4,-2),(1分)
设以E为顶点的抛物线解析式为y=a(x-4)2-2,(1分)
∵抛物线经过点A(0,6),
∴a=
,(1分)
即以E为顶点,且经过点A的抛物线解析式为y=
(x-4)2-2或y=
x2-4x+6;
解法二:
如图2,过H作HG⊥AB于G点,(1分)
∵一次函数y=-
x+6与坐标轴交于A、B点
∴A(0,6),B(8,0),(1分)
设OH=x,∵∠1=∠2,
∴OH=HG=x,HB=8-x(1分)
∴在Rt△HGB中,得x=3(1分)
∴OH=3,HB=5
由△AOH∽△BEH得:HE=
,BE=2
,(2分)
∴ME=
=2,HM=1,
∴OM=4,(2分)
∴M为OB的中点,
∴E(4,-2),(1分)
设以E为顶点的抛物线解析式为y=a(x-4)2-2,(1分)
∵抛物线经过点A(0,6),
∴a=
,(1分)
即以E为顶点,且经过点A的抛物线解析式为y=
(x-4)2-2或y=
x2-4x+6.
(1)证明:延长BF交y轴于F点.如图:
∵AE是∠BAO的平分线,
∴∠1=∠2,
∵BE⊥AE,
∴∠AFB=∠ABF,
∴AF=AB,(1分)
∴BE=FE,(1分)
∵ME∥AF,
∴
OM |
MB |
EF |
BE |
∴OM=MB,即M为OB的中点;(1分)
(2)∵一次函数y=-
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∴A(0,6),B(8,0),
∴OM=4,AB=AF=10,(2分)
∴OF=4,
∴ME=2,(1分)
∴E(4,-2),(1分)
设以E为顶点的抛物线解析式为y=a(x-4)2-2,(1分)
∵抛物线经过点A(0,6),
∴a=
1 |
2 |
即以E为顶点,且经过点A的抛物线解析式为y=
1 |
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1 |
2 |
解法二:
如图2,过H作HG⊥AB于G点,(1分)
∵一次函数y=-
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∴A(0,6),B(8,0),(1分)
设OH=x,∵∠1=∠2,
∴OH=HG=x,HB=8-x(1分)
∴在Rt△HGB中,得x=3(1分)
∴OH=3,HB=5
由△AOH∽△BEH得:HE=
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∴ME=
HE•BE |
HB |
∴OM=4,(2分)
∴M为OB的中点,
∴E(4,-2),(1分)
设以E为顶点的抛物线解析式为y=a(x-4)2-2,(1分)
∵抛物线经过点A(0,6),
∴a=
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即以E为顶点,且经过点A的抛物线解析式为y=
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