Question

如图，在直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=

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．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）方法一：由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
将A、B、C三点的坐标代入得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
所以这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3；
方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
设该表达式为：y=a（x+1）（x-3），
将C点的坐标代入得：a=1，
所以这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3；

（2）如图，在y=x²-2x-3中，令x=0，得y=-3．
令y=0，得x²-2x-3=0，∴x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
又y=（x-1）²-4，∴顶点D（1，-4）．
容易求得直线CD的表达式是y=-x-3．
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．
∴E（-3，0），
∴AE=2．
在y=x²-2x-3中，令y=-3，得x₁=0，x₂=2，
∴CF=2，
∴AE=CF．
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，此时F（2，-3）．