题目内容
已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C(1,0),且与直线l:y=x+m交y轴于同一点B(0,1),与直线l交于另一点A,D为抛物线的对称轴与直线l的交点,P为线段AB上的一动点(不与点A、B重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点E.
(1)求抛物线和直线l的函数解析式,及另一交点A的坐标;
(2)求△ABE的最大面积是多少?
(3)问是否存在这样的点P,使四边形PECD为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)求抛物线和直线l的函数解析式,及另一交点A的坐标;
(2)求△ABE的最大面积是多少?
(3)问是否存在这样的点P,使四边形PECD为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C(1,0),
∴设此抛物线的解析式为:y=a(x-1)2,
∵点B(0,1)在此抛物线上,
∴a=1,
∴此抛物线的解析式为:y=(x-1)2=x2-2x+1;
∵直线l:y=x+m交y轴于点B(0,1),
∴1=0+m,
解得:m=1,
∴直线l的函数解析式为y=x+1;
联立得:
,
解得:
或
,
故点A的坐标为:(3,4);
(2)过点E作EG⊥y轴于点G,过点A作AF⊥EG于点F,
设E(x,x2-2x+1),
∴EG=x,EF=3-x,BG=1-(x2-2x+1)=-x2+2x,AF=4-(x2-2x+1)=-x2+2x+3,GF=3,
∴S△ABE=S梯形ABGF-S△BEG-S△AEF=
(BG+AF)•GF-
BG•EG-
EF•AF
=
×[(-x2+2x)+(-x2+2x+3)]×3-
×(-x2+2x)×x-
×(3-x)×(-x2+2x+3)
=-
=-
(x-
)2+
,
∴当x=
时,S△ABE的最大值为:
,
∴△ABE的最大面积是
;
(3)存在.
∵PE∥y轴,CD∥y轴,
∴PE∥CD,
∴当PE=CD时,四边形PECD为平行四边形,
∵点D在直线y=x+1上,且点D的横坐标为1,
∴点D(1,2),
∴CD=2,
设P(x,x+1),则点E(x,x2-2x+1),
∴PE=(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x=2,
即x2-3x+2=0,
解得:x=1或x=2,
故点P的坐标为:(2,3).
∴设此抛物线的解析式为:y=a(x-1)2,
∵点B(0,1)在此抛物线上,
∴a=1,
∴此抛物线的解析式为:y=(x-1)2=x2-2x+1;
∵直线l:y=x+m交y轴于点B(0,1),
∴1=0+m,
解得:m=1,
∴直线l的函数解析式为y=x+1;
联立得:
|
解得:
|
|
故点A的坐标为:(3,4);

设E(x,x2-2x+1),
∴EG=x,EF=3-x,BG=1-(x2-2x+1)=-x2+2x,AF=4-(x2-2x+1)=-x2+2x+3,GF=3,
∴S△ABE=S梯形ABGF-S△BEG-S△AEF=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
=-
-3x2+9x |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
27 |
8 |
∴当x=
3 |
2 |
27 |
8 |
∴△ABE的最大面积是
27 |
8 |
(3)存在.
∵PE∥y轴,CD∥y轴,
∴PE∥CD,
∴当PE=CD时,四边形PECD为平行四边形,
∵点D在直线y=x+1上,且点D的横坐标为1,
∴点D(1,2),
∴CD=2,
设P(x,x+1),则点E(x,x2-2x+1),
∴PE=(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x=2,
即x2-3x+2=0,
解得:x=1或x=2,
故点P的坐标为:(2,3).

练习册系列答案
相关题目