Question

【题目】如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（　　）

A. 4 B. C. D. 2

Answer 1

【答案】B

【解析】

分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．由三线合一可知AP与BP为CD、CE垂直平分线；再由垂径定理可知圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点；连OC，若半径OC最短，则OC⊥AB，由△AOB为底边4，底角30°的等腰三角形，可求得OC=.

如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P，

∵△ACD和△BCE都是等边三角形，

∴AP与BP为CD、CE垂直平分线，

又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点；

连接OC，

若半径OC最短，则OC⊥AB，

又∵∠OAC=∠OBC=30°，AB=4，

∴OA=OB，

∴AC=BC=2，

∴在直角△AOC中，OC=ACtan∠OAC=2×tan30°=，

故选B．