题目内容
【题目】正方形ABCD中,点M是直线BC上的一个动点(不与点B,C重合),作射线DM,过点B作BN⊥DM于点N,连接CN.
(1)如图1,当点M在BC上时,如果∠CDM=25°,那么∠MBN的度数是 .
(2)如图2,当点M在BC的延长线上时,
①依题意补全图2;
②用等式表示线段NB,NC和ND之间的数量关系,并证明.
【答案】(1);(2)①见解析;②
,见解析.
【解析】
(1)由正方形的性质和对顶角相等、三角形内角和定理得出∠MBN=∠CDM=25°即可;
(2)①由题意补全图形即可;
②当N在DM上时,在NB上截取BE=ND,证明△CDN≌△CBE得出NC=EC,∠DCN=∠BCE,证出∠NCE=∠BCD=90°,得出△NCE是等腰直角三角形,得出NE=NC,即可得出结论;
当N在MD延长线上时,延长NB至E,使BE=ND,同理得:△CDN≌△CBE,得出NC=EC,∠DCN=∠BCE,证出∠NCE=∠BCD=90°,得出△NCE是等腰直角三角形,证出NE=NC,即可得出结论.
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠DCM=∠BCD=90°,
∵BN⊥DM,
∴∠DNB=90°=∠BCD,
∵∠BMN=∠DMC,
∴∠MBN=∠CDM=25°;
故答案为:25°;
(2)①由题意补全图形如图2、图4所示;
②线段NB,NC和ND之间的数量关系为:NB=ND+NC,或
NC=NB+ND.
理由如下:
当N在DM上时,在NB上截取BE=ND,
∵∠MCD=∠BNM=90°,
∴∠DMC+∠CDN=∠DMC+∠CBE=90°,
∴∠CDN=∠CBE,
在△CDN和△CBE中,
,
∴△CDN≌△CBE(SAS),
∴NC=EC,∠DCN=∠BCE,
∴∠NCE=∠DCN+∠DCE=∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°,
∴△NCE是等腰直角三角形,
∴NE=NC,
∴NB=BE+NE=ND+NC;
当N在MD延长线上时,延长NB至E,使BE=ND,
同理得:△CDN≌△CBE,
∴NC=EC,∠DCN=∠BCE,
∴∠NCE=∠DCN+∠DCE=∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°,
∴△NCE是等腰直角三角形,
∴NE=NC,
∵NE=NB+BE,
∴NC=NB+ND.
