题目内容

【题目】正方形ABCD中,点M是直线BC上的一个动点(不与点BC重合),作射线DM,过点BBNDM于点N,连接CN

1)如图1,当点MBC上时,如果∠CDM=25°,那么∠MBN的度数是

2)如图2,当点MBC的延长线上时,

①依题意补全图2

②用等式表示线段NBNCND之间的数量关系,并证明.

【答案】1;(2)①见解析;②,见解析.

【解析】

1)由正方形的性质和对顶角相等、三角形内角和定理得出∠MBN=CDM=25°即可;

2)①由题意补全图形即可;

②当NDM上时,在NB上截取BE=ND,证明△CDN≌△CBE得出NC=EC,∠DCN=BCE,证出∠NCE=BCD=90°,得出△NCE是等腰直角三角形,得出NE=NC,即可得出结论;

NMD延长线上时,延长NBE,使BE=ND,同理得:△CDN≌△CBE,得出NC=EC,∠DCN=BCE,证出∠NCE=BCD=90°,得出△NCE是等腰直角三角形,证出NE=NC,即可得出结论.

解:(1)∵四边形ABCD是正方形,

BC=CD,∠DCM=BCD=90°,

BNDM

∴∠DNB=90°=BCD

∵∠BMN=DMC

∴∠MBN=CDM=25°;

故答案为:25°;

2)①由题意补全图形如图2、图4所示;

②线段NBNCND之间的数量关系为:NB=ND+NC,或NC=NB+ND

理由如下:

NDM上时,在NB上截取BE=ND

∵∠MCD=BNM=90°,

∴∠DMC+CDN=DMC+CBE=90°,

∴∠CDN=CBE

在△CDN和△CBE中,

∴△CDN≌△CBESAS),

NC=EC,∠DCN=BCE

∴∠NCE=DCN+DCE=BCE+DCE=BCD=90°,

∴△NCE是等腰直角三角形,

NE=NC

NB=BE+NE=ND+NC

NMD延长线上时,延长NBE,使BE=ND

同理得:△CDN≌△CBE

NC=EC,∠DCN=BCE

∴∠NCE=DCN+DCE=BCE+DCE=BCD=90°,

∴△NCE是等腰直角三角形,

NE=NC

NE=NB+BE

NC=NB+ND

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