题目内容
【题目】正方形ABCD中，点M是直线BC上的一个动点（不与点B，C重合），作射线DM，过点B作BN⊥DM于点N，连接CN．
（1）如图1，当点M在BC上时，如果∠CDM=25°，那么∠MBN的度数是 ．
（2）如图2，当点M在BC的延长线上时，
①依题意补全图2；
②用等式表示线段NB，NC和ND之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
；（2）①见解析；②
，见解析.
【解析】
（1）由正方形的性质和对顶角相等、三角形内角和定理得出∠MBN=∠CDM=25°即可；
（2）①由题意补全图形即可；
②当N在DM上时，在NB上截取BE=ND，证明△CDN≌△CBE得出NC=EC，∠DCN=∠BCE，证出∠NCE=∠BCD=90°，得出△NCE是等腰直角三角形，得出NE=
NC，即可得出结论；
当N在MD延长线上时，延长NB至E，使BE=ND，同理得：△CDN≌△CBE，得出NC=EC，∠DCN=∠BCE，证出∠NCE=∠BCD=90°，得出△NCE是等腰直角三角形，证出NE=NC，即可得出结论．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠DCM=∠BCD=90°，
∵BN⊥DM，
∴∠DNB=90°=∠BCD，
∵∠BMN=∠DMC，
∴∠MBN=∠CDM=25°；
故答案为：25°；
（2）①由题意补全图形如图2、图4所示；
②线段NB，NC和ND之间的数量关系为：NB=ND+NC，或NC=NB+ND．
理由如下：
当N在DM上时，在NB上截取BE=ND，
∵∠MCD=∠BNM=90°，
∴∠DMC+∠CDN=∠DMC+∠CBE=90°，
∴∠CDN=∠CBE，
在△CDN和△CBE中，
，
∴△CDN≌△CBE（SAS），
∴NC=EC，∠DCN=∠BCE，
∴∠NCE=∠DCN+∠DCE=∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°，
∴△NCE是等腰直角三角形，
∴NE=NC，
∴NB=BE+NE=ND+NC；
当N在MD延长线上时，延长NB至E，使BE=ND，
同理得：△CDN≌△CBE，
∴NC=EC，∠DCN=∠BCE，
∴∠NCE=∠DCN+∠DCE=∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°，
∴△NCE是等腰直角三角形，
∴NE=NC，
∵NE=NB+BE，
∴NC=NB+ND．
