题目内容
【题目】如图，点
的坐标为
，过点作
轴的平行线交
轴于点
，交双曲线
于点
，作
交双曲线于点
，连接
、
，已知
．
求
的值．
求
的面积．
试判断与
是否相似，并说明理由．
【答案】（1）
；（2）
；
不相似，理由见解析.
【解析】
（1）过N作NB垂直于x轴，垂足为B，由P的坐标得到AP的长，根据AP+PN=AN，求出AN的长，即为N的横坐标，又AN与x轴平行，得到N与P的纵坐标相等，由P的纵坐标得到N的纵坐标，确定出点N的坐标，将N的坐标代入双曲线解析式即可求出k的值；
（2）要求三角形APM的面积，由题意可知三角形APM为直角三角形，只需求出直角边PM和AP即可求出．AP为P的横坐标的值，显然得出，PM为M的纵坐标减去P的纵坐标，延长MP与x轴交于Q点，由PM与AN垂直，得到MQ垂直于x轴，故得到M与P的横坐标相等，由P的横坐标得到M的横坐标，代入反比例解析式求出纵坐标，得到MQ的长，进而求出MP的长，利用直角边乘积的一半即可求出三角形APM的面积；
（3）不相似，理由为：由题意可知三角形APM为直角三角形，根据（2）求出的AP及MP的长，利用勾股定理求出AM的长，再由三角形PMN为直角三角形，由MP与PN的长，利用勾股定理求出MN的长，根据MN2+AM2≠AN2，得到三角形AMN不是直角三角形，故两三角形不可能相似．
（1）过N作NB⊥x轴，交x轴于点B．
∵AN∥x轴，∴P与N纵坐标相等，又AP=2，PN=4，∴AN=AP+PN=2+4=6．
∵P
，∴N点坐标为（6，
），把N代入解析式y=
中，得：k=×6=9；
（2）延长MP，延长线与x轴交于Q点．
∵PM⊥AN，AN∥x轴，∴MQ⊥x轴，∴P和Q的横坐标相等，即Q的横坐标为2，把x=2代入反比例解析式y=
中得：y=
，则MP=MQ﹣PQ=﹣=3，又AP=2，∴S△APM=
MPAP=×3×2=3；
（3）不相似，理由为：
∵△APM为直角三角形，AP=2，MP=3，根据勾股定理得：AM=
=
，又△PMN为直角三角形，PM=3，PN=4，根据勾股定理得：MN=
=5．
∵MN2+AM2≠AN2，即∠AMN≠90°，∴△AMN不是直角三角形，而△APM为直角三角形，则△APM与△AMN不相似．
