题目内容
【题目】如图1,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC的平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点,过点H作直线l⊥AO于H,分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M.
(1)当直线l经过点C时(如图2),求证:BN=CD;
(2)当M是BC中点时,写出CE和CD之间的等量关系,并加以证明;
(3)请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系.
【答案】(1)证明见解析;(2)CD=2CE;(3)当点M 在线段BC 上时,CD=BN+CE ; 当点M 在BC 的延长线上时,CD=BN-CE ; 当点M 在CB 的延长线上时,CD=CE-BN.
【解析】试题分析:(1)连接ND,先由已知条件证明:DN=DC,再证明BN=DN即可;
(2)当M是BC中点时,CE和CD之间的等量关系为CD=2CE,过点C作CN'⊥AO交AB于N'.过点C作CG∥AB交直线l于G,再证明△BNM≌△CGM问题得证;
(3)BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论:①当点M在线段BC上时;②当点M在BC的延长线上时;③当点M在CB的延长线上时.
试题解析:(1 )证明:连接ND ,
∵AO 平分∠BAC , ∴∠1= ∠2 ,
∵直线l ⊥AO 于H , ∴∠4= ∠5=90 °, ∴∠6= ∠7 , ∴AN=AC ,
∴NH=CH , ∴AH 是线段NC 的中垂线,∴DN=DC ,∴∠8= ∠9 ,∴∠AND= ∠ACB ,
∵∠AND= ∠B+ ∠3 ,∠ACB=2 ∠B , ∴∠B= ∠3 , ∴BN=DN , ∴BN=DC ;
(2 )如图,当M 是BC 中点时,CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE.
证明:过点C 作CN' ⊥AO 交AB 于N' ,
由(1 )可得BN'=CD ,AN'=AC ,AN=AE ,∴∠4= ∠3 ,NN'=CE ,
过点C 作CG ∥AB 交直线l 于G ,∴∠4= ∠2 ,∠B= ∠1 ,∴∠2= ∠3 ,∴CG=CE ,
∵M 是BC 中点, ,∴BM=CM ,
∴在△BNM 和△CGM 中,△BNM ≌△CGM , ∴BN=CG ,∴BN=CE ,
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE ;
(3 )BN 、CE 、CD 之间的等量关系:
当点M 在线段BC 上时,CD=BN+CE ;
当点M 在BC 的延长线上时,CD=BN-CE ;
当点M 在CB 的延长线上时,CD=CE-BN.