Question

（10分）如图所示，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

试题分析：（1）由等腰直角△ABC，可证△BDC≌△ADC，得∠DCA=∠DCB=45^o，然后求证∠BDM=∠EDC即可.
（2）连接MC，可知△MDC是等边三角形，可求证∠EMC=∠ADC。再△ADC≌△EMC即可.
（1）在等腰直角△ABC中，
∵∠CAD=∠CBD=15^o，
∴∠BAD=∠ABD=45^o－15^o=30^o. ∴BD=AD.
又∵CA=CB，∴△BDC≌△ADC（SAS）.∴∠DCA=∠DCB.
又∵∠ACB=90^o，∴∠DCA=∠DCB=45^o.
∵∠BDM=∠ABD＋∠BAD=30^o＋30^o=60^o，∠EDC=∠DAC＋∠DCA=15^o＋45^o=60^o，
∴∠BDM=∠EDC. ∴DE平分∠BDC.
（2）如图，连接MC.
∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等边三角形，即CM=CD.
又∵∠EMC=180°－∠DMC=180°－60°=120°，∠ADC=180°－∠MDC=180°－60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC.
又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM=15°.
∴△ADC≌△EMC（AAS）.∴ME=AD=BD.