Question

【题目】如图，ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点 P 从 A 点出发沿 A-C-B 路径向终点运动，终点为 B点；点 Q 从 B 点出发沿 B-C-A 路径向终点运动，终点为 A 点，点 P 和 Q 分别以 1cm/s 和 xcm / s 的运动速度 同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过 P 和 Q 作 PE⊥ l 于 E，QF⊥ l 于 F.

(1)如图，当 x 2 时，设点 P 运动时间为 ts ，当点 P 在 AC 上，点 Q 在 BC 上时：

①用含 t 的式子表示 CP 和 CQ，则 CP= cm，CQ= cm；

②当 t 2 时,PEC 与QFC 全等吗？并说明理由；

(2)请问:当 x 3 时，PEC 与QFC 有没有可能全等？若能，直接写出符合条件的 t 的值；若不能，请说明 理由。

Answer 1

【答案】（1）6-t，8-2t；②△PEC≌△CFQ，理由见详解；（2）当 x 3 时，△PEC≌△CFQ，时间可以为：s，；

【解析】

（1）①根据路程=速度×时间，即可解答；

②由运动的时间t=2，得到CP=CQ，然后由垂直定义和余角的性质，得到∠PEC=∠QFC=90°，∠PCE=∠CQF，根据AAS即可得到全等；

（2）根据题意，由△PEC与△QFC全等，得到PC=QC．即可分为三种情况进行①当P在AC上，Q在BC上时，先求出CQ=8-3t，可得6-t=8-3t；②当点P与点Q重合，6-t=3t-8；③当点P在BC上，点Q到点A时，此时有t-6=6；即可解答；

解：（1）①根据题意，当 x 2 时，运动时间为t 秒时，

有AP=t，BQ=2t，

∴CP=6-t，CQ=8-2t，

故答案为：6-t，8-2t；

②当 t 2 时，△PEC≌△CFQ；

理由如下：

当 t 2 时，

∴，

∵∠ACB=90°，

∴∠PCE+∠QCF=90°,

∵PE⊥ l 于 E，QF⊥ l 于 F，

∴∠PEC=∠QFC=90°，

∴∠QCF+∠CQF=90°，

∴∠PCE=∠CQF，

在△PEC和△CFQ中，

有，

∴△PEC≌△CFQ（AAS）；

（2）①当P在AC上，Q在BC上时，有，

∵△PEC≌△CFQ，

∴CP=CQ，

即：，

解得：，

②当点P与点Q重合，如图2所示：

∴△PEC与△QFC全等，
∴6-t=3t-8．
解得：t=3.5．
③当点P在BC上，点Q到点A时，

此时：

∴t-6=6，
∴t=12，
即：满足条件的时间为：1秒或3.5秒或12秒．

∴当 x 3 时，时间s，，有△PEC≌△CFQ；