题目内容
【题目】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上，与x轴交于点A、B，与y轴交于点C
(1) 如图1，若A (1，0)、C (0，3)且对称轴为直线x＝2，求抛物线的解析式
(2) 在(1)的条件下，如图2，作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接AD、BD，在抛物线上是否存在点P，使∠PAD＝∠ADB，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由
(3) 若直线l：y＝mx＋n与抛物线有两个交点M、N（M在N的左边），Q为抛物线上一点（不与M、N重合），过点Q作QH平行于y轴交直线l于点H，求
的值
【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）点P的横坐标的值为
或6；（3）1.
【解析】
（1）把A、C点代入y=ax2+bx+c 得到a、b的方程，加上对称轴方程得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；
（2）当P点与B点在AD的同侧，作DE⊥x轴于E，EF⊥AD于F，交抛物线于点P，如图1，先确定C（0，3），利用对称性确定D（4，3），再判断△ADE为等腰直角三角形，则EF垂直平分AD，此时∠PAD=∠ADB，接着利用待定系数法求出直线EF的解析式为y=-x+4，然后解方程x2-4x+3=-x+4即可得到点P的横坐标的值；当P点与B点在AD的两侧，易得直线BD的解析式为y=3x-9，设过点A与BD平行的直线交抛物线于P点，利用平行问题求出线AP的解析式为y=3x-3，然后解方程x2-4x+3=3x-3得此时点P的横坐标；
（3）设Q（t，t2-4t+3），则H（t，m），设M、N的横坐标分别为x1，x2，利用抛物线与一次函数的交点问题判断x1，x2为方程x2-4x+3=m的两根，则根据根与系数的关系得x1+x2=4，x1x2=3-m，由于HM=t-x1，NH=x2-t，则HMNH=-t2+4t-3+m，利用HQ=-t2+4t-3+m，于是可得
的值．
（1）根据题意得：
，解得
，
∴抛物线的解析式为：y=x2-4x+3；
（2）存在．当P点与B点在AD的同侧，
作DE⊥x轴于E，EF⊥AD于F，交抛物线于点P，如图1，
∵点D与点C关于直线x=2对称，
∴D（4，3），
∴E（4，0），
∵EA=ED=3，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴EF垂直平分AD，
∴PA=PD，
∴∠PAD=∠ADB，
∵F点为AD的中点，
∴F（
，
），
设直线EF的解析式为y=px+q，
把E（4，0），F（，）代入得
，解得
，
∴直线EF的解析式为y=-x+4，
解方程x2-4x+3=-x+4得x1=，x2=
此时点P的横坐标的值为；
当P点与B点在AD的两侧，
易得直线BD的解析式为y=3x-9，
设过点A与BD平行的直线交抛物线于P点，
直线AP的解析式为y=3x-3，
解方程x2-4x+3=3x-3得x1=1，x2=6，
此时点P的横坐标的值为6；
综上所述，点P的横坐标的值为或6；
（3）设Q（t，t2-4t+3），则H（t，m），
设M、N的横坐标分别为x1，x2，则x1，x2为方程x2-4x+3=m的两根，
∴x1+x2=4，x1x2=3-m，
∴HM=t-x1，NH=x2-t，
∴HMNH=（t-x1）（x2-t）=-t2+（x1+x2）t-x1x2=-t2+4t-3+m，
∵HQ=m-（t2-4t+3）=-t2+4t-3+m，
∴HMNH=HG，
∴的值为1．
