Question

【题目】已知，正方形，

（1）如图1，当点分别在边，上，连接，求证：

（2）如图2，点分别在边，上，且，当点分别在，上，连接，请探究线段，，之间满足的数量关系，并加以证明.

图1 图2

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）由题意可知△ADF≌△ABG，可得到AF＝AG，DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，通过证明G、B、E三点共线，可推出∠EAG＝∠EAF，从而证得△EAG≌△EAF，进而证得EG＝EF，把EF转化到EG＝BG＋BE＝DF＋BE，即可得证．
（2）把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证得△EAH≌△EAF，把EF转化到EH，然后利用BN＝DM证明四边形BMDN为平行四边形，得出∠ABE＝∠FDM，从而得出∠EBH＝∠ABH＋∠ABE＝∠ADF＋∠MDN＝90°，由得到．

（1）如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，

∴△ADF≌△ABG
∴AF＝AG，DF＝BG，∠DAF＝∠BAG
∵正方形ABCD
∴∠D＝∠BAD＝∠ABE＝90°，AB＝AD
∴∠ABG＝∠D＝90°，即G、B、C在同一直线上
∵∠EAF＝45°
∴∠DAF＋∠BAE＝90°45°＝45°
∴∠EAG＝∠BAG＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝45°
即∠EAG＝∠EAF
在△EAG与△EAF中，

∴△EAG≌△EAF（SAS）
∴EG＝EF
∵BE＋DF＝BE＋BG＝EG
∴EF＝BE＋DF
（2），证明如下：
如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABH，

∴△ADF≌△ABH
∴AF＝AH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，∠ADF＝∠ABH
∵∠EAF＝45°
∴∠DAF＋∠BAE＝90°45°＝45°
∴∠EAH＝∠BAH＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝45°
即∠EAH＝∠EAF
在△EAH与△EAF中，

∴△EAH≌△EAF（SAS）
∴EH＝EF
∵BN＝DM，BN∥DM
∴四边形BMDN是平行四边形
∴∠ABE＝∠MDN
∴∠EBH＝∠ABH＋∠ABE＝∠ADF＋∠MDN＝∠ADM＝90°
∴
∴