Question

【题目】在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．

（1）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；
（2）如图2，D为 上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，连接OC，

∵⊙O与PC相切于点C，

∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，

∵∠CAB=27°，

∴∠COB=2∠CAB=54°，

在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，

∴∠P=90°﹣∠COP=36°；

（2）解：∵E为AC的中点，

∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，

在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，

得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，

∴∠ACD= ∠AOD=40°，

∵∠ACD是△ACP的一个外角，

∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°

【解析】本题考查了切线的性质，解题的关键是能够利用圆的切线垂直于经过切点的半径得到直角三角形，难度不大．（1）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答
案；（2）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD= ∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．