Question

【题目】已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．
（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是 ．
A.0
B.1
C.2
D.1或2
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．
（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）D
（2）证明：y=﹣x2+（m﹣1）x+m=﹣（x﹣ ）2+ ，

把x= 代入y=（x+1）2得：y=（ +1）2= ，

则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上

（3）解：设函数z= ，

当m=﹣1时，z有最小值为0；

当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；

当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，

当m=﹣2时，z= ；当m=3时，z=4，

则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4

【解析】解：（1）∵函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）， ∴△=（m﹣1）2+4m=（m+1）2≥0，
则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，
故选D；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质和抛物线与坐标轴的交点的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．