题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），交y轴正半轴于点C，OC＝4OA，S△ABC＝24．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作PD⊥AB于点D，连接AP交y轴于点E，过点E作EG⊥PD于点G，设点P的横坐标为t（t≤1），PG的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点B作BF⊥EG交EG的延长线于点F，点Q在线段GF上，连接DQ、PQ，将△DGQ沿DQ折叠后，点G的对称点为点H，DH交BF于点M，连接MQ并延长交DP的延长线于点N，当∠DQM＝45°，tan∠PQN＝
时，求直线PQ的解析式．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+8；（2）d＝﹣t2+4t；（3）y＝﹣
x+
．
【解析】
(1)根据所告诉的两个等量关系求出A、C坐标，再将坐标代入解析式即可求出b、c的值．
(2)用t表示相关的竖直线段与水平线段，再根据△PEGPAD列出比例等式化简整理即可得到d与t关系式．
(3)先证明△QFM≌△MHQ．然后作MK⊥QM交DQ于K，过点K作SR⊥FB于R交GD于S，易得△QFM≌△MRK，可以推出R是BF中点，进而得SK=BF=
GQ，tan∠N=tan∠QMF=，作PT⊥QN于T，结合tan∠PQN=
可以导出
，得到PG=4﹣t，而由(2)中结论可知PG=﹣t2+4t，于是建立方程解出t的值，P、Q坐标也就是自然得出，最后待定系数法确定PQ解析式．
(1)设OA=m，则OC=4OA=4m，
∵B(4，0)，所以OB=4，
∴AB=OA+OB=4+m，
∴S△ABC=ABOC=2m(4+m)=24，
解得：m=2，
∴A(﹣2，0)，C(0，8)，
将A、C两点坐标代入y=﹣x2+bx+c得：
，
解得b=2，c=8，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+8；
(2) ∵EG⊥PD，PD⊥AB，∠EOD=90°，
∴四边形ODGE为矩形，
∴EG=OD，
∵P为抛物线上一点，且横坐标为t，
∴P(t，﹣t2+2t+8)，
∴PD=﹣t22t+8，OD=t，
∵A(﹣2，0)，
∴AD=t+2，
∵EG⊥PD，
∴△PEGPAD，且EG=OD=t，
∴
，
所以
，
所以d=﹣t2+4t；
(3)∵PG=d=﹣t2+4t，PD=﹣t2+2t+8，
∴GD=PD﹣PG=8﹣2t，
∴OE=BF=GD=8﹣2t，
设∠QMF=α，则∠MQF=90°﹣α，
∵∠DQM=45°，
∴∠GQD=180°﹣∠DQM﹣∠MQF=45°+α，
∴∠DQH=∠GQD=45°+α，
∴∠HQM=∠DQH﹣∠DQM=α，
根据折叠的性质∠H=∠QGD=90
=∠F，
∴Rt△QFM≌Rt△MHQ，
∴QH=MF，MH=QF，
如图，作MK⊥QM交DQ于K，过点K作SR⊥FB于R交GD于S，
则∠KRM=∠KMQ=∠QFM=90°，
∵∠DQM=45°，
∴∠MKQ=45°=∠MQK，
∴QM=KM，
∵∠QMF+∠KMR=∠KMR+∠MKR=90°，
∴∠QMF=∠MKR，
∴Rt△QFM≌Rt△MRK，
∴KR=MF，MR=QF，
设QF=m，则MR=QF=m，
∴GQ=QH=FM=EF﹣EG﹣QF=4﹣t﹣m，
∴FR=FM+MR=4﹣t﹣m+m=4﹣t=BF，
∵BF=GD=8﹣2t，
∴FR=BF，
∴R为BF中点，
∴SK=GQ，
∵SK=SR﹣KR=GF﹣GQ=QF，
∴QF=FM，
∴tan∠QMF=tanα=，
作PT⊥NQ于T，则tan∠N=
=tanα=，
∴NT=2PT，
∵tan∠PQN=
，
∴QT=8PT，
设PT=n，则NT=2n，QT=8n，QN=10n，PN=
=
n，
∵
=tan∠N=，
∴NG=2QG，
∵
，即
，
∴
，NG=2QG=4n，
∴PG=NG﹣PN=3n，
∴
=
，
∵GQ=2SK=2QF=2m，
∴
，
∴PG=GF=4﹣t，
又∵PG=﹣t2+4t，
∴﹣t2+4t=4﹣t，
∴t2﹣5t+4=0，解得t=1或t=5(舍)，
∴P(1，9)，Q(3，6)，
设直线PQ的解析式为
，
则
，
解得：
，
∴PQ的解析式为y=﹣x+．
