Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D，一次函数y＝mx﹣3的图象与y轴交于E点，与二次函数的对称轴交于F点，且tan∠FDC＝．

（1）求a的值；

（2）若四边形DCEF为平行四边形，求二次函数表达式．

（3）在（2）的条件下设点M是线段OC上一点，连接AM，点P从点A出发，先以1个单位长度/s的速度沿线段AM到达点M，再以个单位长度/s的速度沿MC到达点C，求点P到达点C所用最短时间为　 s（直接写出答案）．

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣；（2）y＝﹣x2﹣x+6；（3）．

【解析】

（1）过点C作CG⊥DF交于点G，求出C与D点坐标，可得CG=1，DG=-a，再由tan∠FDC=，即可求a的值；
（2）由点的坐标分别求出CE=3+c，DF=c++m+3，再由平行四边形的性质可得3+c=c++m+3，可以确定y=-x-3，求出A点坐标，将A点坐标代入y=-x2-x+c，即可求出c的值；
（3）连接BC，过点A作AH⊥BC交于点H，AH与CO的交点为所求M；由题意可知运动时间为AM+；在Rt△CMH中，MH=CMsin∠BCO=，则有AM+=AM+MH=AH；再在Rt△ABH中，AB=6，sin∠COB=＝＝，

求出AH=ABsin∠COB=6×＝，即为所求．

（1）过点C作CG⊥DF交于点G，

∵C（0，c），D（﹣1，c﹣a），

∴CG＝1，DG＝﹣a，

∵tan∠FDC＝，

∴＝，

∴a＝﹣；

（2）∵a＝﹣，

∴D（﹣1，c+），

∵E（0，﹣3），F（﹣1，﹣m﹣3），

∴CE＝3+c，DF＝c++m+3，

∵四边形DCEF为平行四边形，

∴3+c＝c++m+3，

∴m＝﹣，

∴y＝﹣x﹣3，

∴A（﹣4，0），

将A（﹣4，0）代入y＝﹣x2﹣x+c，

可得c＝6，

∴y＝﹣x2﹣x+6；

（3）连接BC，过点A作AH⊥BC交于点H，AH与CO的交点为所求M；

由题意可知运动时间为AM+；

∵y＝﹣x2﹣x+6，可求B（2，0），

在Rt△BCO中，OB＝2，OC＝6，

∴BC＝2，

∴sin∠BCO＝＝，

在Rt△CMH中，MH＝CMsin∠BCO＝，

∴AM+＝AM+MH＝AH；

在Rt△ABH中，AB＝6，sin∠COB＝＝，

∴AH＝ABsin∠COB＝6×＝，

∴点P到达点C所用最短时间为s，

故答案为；