题目内容

如图:△ABC是等边三角形?
(1)若AD=BE=CF,求证△DEF是等边三角形.?
(2)请问(1)的逆命题成立吗?若成立,请证明,若不成立,请用反例说明?
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,AC=AB=BC,
∵AD=BE=CF,
∴AC-CF=BC-BE=AB-AD,
∴EC=AF=BD,
∴在△ADF,△BED,△CFE中,
AD=BE=CF
∠A=∠B=∠C
EC=AF=BD

∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),
∴DF=DE=EF,
∴△DEF是等边三角形,

(2)(1)的逆命题成立,
已知:△DEF是等边三角形,求证:AD=BE=CF.
证明:∵△DEF是等边三角形,
∴∠EDF=∠EFD=∠DEF=60°,DF=EF=DE,
∵等边三角形ABC,
∴∠A=∠B=∠C=60°,
∴∠ADF+∠AFD=120°,∠ADF+∠BDE=120°,∠BDE+∠DEB=120°,∠AFD+∠EFC=120°,
∴∠ADF=∠DEB=∠EFC,
在△ADF,△BED,△CFE中,
DF=ED=FE
∠A=∠B=∠C
∠ADF=∠BED=∠CFE

∴△ADF≌△BED≌△CFE(AAS),
∴AD=BE=CF.
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