题目内容

如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQAE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.
恒成立的结论有______.(把你认为正确的序号都填上)
①∵正△ABC和正△CDE,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD,∠BCE=∠DCE+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ADC≌△BEC(SAS),
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,(故①正确);

②又∵CD=CE,∠DCP=∠ECQ=60°,∠ADC=∠BEC,
∴△CDP≌△CEQ(ASA).
∴CP=CQ,
∴∠CPQ=∠CQP=60°,
∴∠QPC=∠BCA,
∴PQAE,(故②正确);

③∵△CDP≌△CEQ,
∴DP=QE,
∵△ADC≌△BEC
∴AD=BE,
∴AD-DP=BE-QE,
∴AP=BQ,(故③正确);

④∵DE>QE,且DP=QE,
∴DE>DP,(故④错误);

⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°,(故⑤正确).
∴正确的有:①②③⑤.
故答案为:①②③⑤.
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