Question

【题目】在平面直角坐标系中B（﹣1，0），A（0，m），m＞0，将线段AB线绕B点逆时针旋转90°得BC，AC的中点为D点．

（1）m＝2时，画图并直接写出D点的坐标　 　；

（2）若双曲线（x＜0）过C，D两点，求反比例的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P在C点左侧，且在双曲线上，以CP为边长画正方形CPEF，且点E在x轴上，求P点坐标．

Answer 1

【答案】（1）见解析，；（2）；（3）见解析，点P坐标为（﹣2﹣2，2﹣2）

【解析】

（1）过点C作CM⊥x轴，由旋转的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，由“AAS”可证△ABO≌△BCM，可得AO＝BM＝m，BO＝CM＝1，可得点C坐标，由中点坐标公式可求点D坐标；

（2）先求点C，点D坐标，代入解析式可求反比例函数的解析式；

（3）过点P作PQ⊥BE，过点C作CD⊥PQ，由“AAS”可证△CDP≌△PQE，可得PD＝EQ，CD＝PQ，由点P（x，y）（x＜0），点C坐标（4，1），可得y＝4x，由反比例函数的性质可得xy＝4，可求x，y的值，即可求P点坐标．

解：（1）过点C作CM⊥x轴，

∵将线段AB线绕B点逆时针旋转90°

∴AB＝BC，∠ABC＝90°

∴∠ABO+∠CBM＝90°

∵∠AOB＝90°，

∴∠ABO+∠BAO＝90°

∴∠CBM＝∠BAO，且BC＝AB，∠CMB＝∠AOB＝90°

∴△ABO≌△BCM（AAS）

∴AO＝BM＝m，BO＝CM＝1

∵m＝2

∴MO＝3，

∴点C（﹣3，1），且点A（0，2），AC的中点为D点．

∴点D坐标为（），

故答案为：（）；

（2）由（1）可得：AO＝BM＝m，BO＝CM＝1

∴MO＝1+m，

∴点C（﹣1﹣m，1），且点A（0，m），AC的中点为D点．

∴点D坐标（）

∵双曲线y＝（x＜0）过C，D两点，

∴1×（﹣1﹣m）＝

∴m＝3，点C坐标（﹣4，1）

∴k＝﹣4，

∴双曲线解析式：；

（3）如图，过点P作PQ⊥BE，过点C作CD⊥PQ，

设点P（x，y）（x＜0）

∵四边形CPEF是正方形，

∴CP＝PE，

∵PQ⊥BE，CD⊥PQ，

∴∠PEB+∠EPQ＝90°，∠EPQ+∠CPQ＝90°

∴∠CPQ＝∠PEB，且PC＝PE，∠CDP＝∠PQE＝90°

∴△CDP≌△PQE（AAS）

∴PD＝EQ，CD＝PQ，

∵点P（x，y）（x＜0），点C坐标（﹣4，1）

∴CD＝﹣4﹣x＝PQ，PD＝y﹣1＝EQ，PQ＝y，BQ＝﹣x，

∴y＝﹣4﹣x，

∵点P在C点左侧，且在双曲线上，

∴xy＝﹣4

∴x（﹣4﹣x）＝﹣4

∴x1＝，x2＝（不合题意），

∴y＝﹣4﹣x＝

∴点P坐标为（，）.