题目内容
给出以下命题：
①已知215-8可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是63、65；
②若ax=2，ay=3，则a2x-y=
；
③已知关于x的方程
=3的解是正数，则m的取值范围为m＞-6或m≠-4；
④若方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个整数根，且12＜m＜60，则m的整数值有2个．
其中正确的是（ ）
①已知215-8可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是63、65；
②若ax=2，ay=3，则a2x-y=
| 4 |
| 3 |
③已知关于x的方程
| 2x+m |
| x-2 |
④若方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个整数根，且12＜m＜60，则m的整数值有2个．
其中正确的是（ ）
| A、①② | B、①②④ |
| C、①③④ | D、②③④ |
考点：命题与定理
专题：
分析：①将215-8中第一项利用幂的乘方逆运算法则变形后，利用平方差公式分解因式，继续利用幂的乘方逆运算法则变形后，利用平方差公式分解因式，根据215-8可以被60到70之间的某两个整数整除，即可得到两因式分别为63和65．
②利用幂的乘方以及同底数幂的乘除运算得出即可；
③利用分式方程的解法以及不等式的解法得出即可；
④根据二次方程根与判别式的关系，可得△≥0；又由关于未知数x的方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个整数根，可得
为整数，即2m+1是一个完全平方数，根据条件12＜m＜60，讨论即可求得m的值．
②利用幂的乘方以及同底数幂的乘除运算得出即可；
③利用分式方程的解法以及不等式的解法得出即可；
④根据二次方程根与判别式的关系，可得△≥0；又由关于未知数x的方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个整数根，可得
| △ |
解答：解：①215-8=215-23=23×（212-1）=23×（26+1）（26-1）=23×63×65，
则所求的两个数分别为63，65，故此选项正确；
②∵ax=2，ay=3，
则a2x-y=（ax）2÷ay=4÷3=
，故此选项正确；
③关于x的方程
=3的解是正数，
∴2x+m=3（x-2），
整理得出：-x=-m-6，
即x=m+6，故m+6＞0，
解得：m＞-6，又∵x≠2，当m=-4时x=2，
则m的取值范围为m＞-6且m≠-4，原题中是“或”故此选项错误；
④∵△=[-2（m+1）]2-4m2=8m+4，
∵关于未知数x的方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个整数根，
∴
=2
是整数，
又∵12＜m＜60，
∴5＜
＜11，
∵方程有两个整数根必须使
为正整数，且m为整数，
∴
=7或9，
∴m=24或40，故此选项正确；
故选：B．
则所求的两个数分别为63，65，故此选项正确；
②∵ax=2，ay=3，
则a2x-y=（ax）2÷ay=4÷3=
| 4 |
| 3 |
③关于x的方程
| 2x+m |
| x-2 |
∴2x+m=3（x-2），
整理得出：-x=-m-6，
即x=m+6，故m+6＞0，
解得：m＞-6，又∵x≠2，当m=-4时x=2，
则m的取值范围为m＞-6且m≠-4，原题中是“或”故此选项错误；
④∵△=[-2（m+1）]2-4m2=8m+4，
∵关于未知数x的方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个整数根，
∴
| △ |
| 2m+1 |
又∵12＜m＜60，
∴5＜
| 2m+1 |
∵方程有两个整数根必须使
| 2m+1 |
∴
| 2m+1 |
∴m=24或40，故此选项正确；
故选：B．
点评：此题考查了一元二次方程中根与判别式的关系以及因式分解的应用和分式方程的解法等知识，解题的关键是注意抓住已知条件，利用分类讨论思想求解．
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