题目内容
【题目】如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C，D两点．点P是x轴上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点Q（Q与B不重合），使△CDQ的面积等于△BCD的面积？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；（2）当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（
，0）；（3）点Q的坐标为（2，3）或（1﹣
，﹣3）或（1+，﹣3）．
【解析】
（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；（2）先求出点B关于x轴的对称点B′的坐标，连接AB′与x轴相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AB′的解析式，再求出与x轴的交点即可．（3）S△CDQ=S△BCD且CD是两三角形的公共底边知|yQ|=yB=3，据此得yQ=3或yQ=-3，再分别求解可得．
解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4，
把点B（0，3）代入得，a+4=3，
解得a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；
（2）点B关于x轴的对称点B′的坐标为（0，﹣3），
由轴对称确定最短路线问题，连接AB′与x轴的交点即为点P，
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
，
解得
，
∴直线AB′的解析式为y=7x﹣3，
令y=0，则7x﹣3=0，
解得x=，
所以，当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（，0）．
（3）∵S△CDQ=S△BCD，且CD是两三角形的公共底边，
∴|yQ|=yB=3，
则yQ=3或yQ=﹣3，
当yQ=3时，﹣（x﹣1）2+4=3，
解得：x=0或x=2，
则点Q（2，3）；
当yQ=﹣3时，﹣（x﹣1）2+4=﹣3，
解得：x=1﹣或x=1+，
则点Q坐标为（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；
综上，点Q的坐标为（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）．
