题目内容

【题目】已知抛物线 yax2 过点(2,2)

(1)直接写出抛物线的解析式;

(2)如图,△ABC 的三个顶点都在抛物线 上,且边 AC 所在的直线解析式为yx+b,若 AC 边上的中线 BD 平行于 y 轴,求的值;

(3)如图,点 P 的坐标为(0,2),点 Q 为抛物线上 上一动点,以 PQ 为直径作⊙M,直线 yt 与⊙M 相交于 HK 两点是否存在实数 t,使得 HK 的长度为定值?若存在,求出 HK 的长度;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y= ;(2)16;(3)见解析.

【解析】

(1)把点(2,2)坐标代入 y=ax2 即可求解;

(2)把 y=x+b y=x2 :x2﹣2x﹣2b=0, A、C 两点的坐标为(x1,y1、(x2,y2,则:x1+x2=2,x1x2=﹣2b,可以求出点 D坐标、B坐标,即可求解;;

(3)设点 Q坐标为(a,a2,点 M的坐标为a2+1),圆的半径为 r, r2+(a2﹣1)2a4a2+1, M 到直线 y=t 的距离为 d, HK=2=2,当=0,HK为常数,t=,HK=

(1)把点(2,2)坐标代入y=ax2,解得:a=

∴抛物线的解析式为y=x2

(2)y=x+by=x2得:x2﹣2x﹣2b=0,

A、C 两点的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则:x1+x2=2,x1x2=﹣2b,

D坐标为(),即D(1,﹣b),B坐标为(1,),

AC2=[(x2﹣x1)]2=16b+8,

BD=+b,

=16;

(3)设点Q坐标为(a,a2),

P的坐标为(0,2),由 P、Q坐标得点M的坐标为(a2+1),

设圆的半径为 r,P(0,2)、M 两点坐标可得r2+(a2﹣1)2a4﹣a2+1,

设点M到直线y=t的距离为d,则d2=(a2+1﹣t)=a4+a2+1+t2﹣2t﹣a2t,

HK=2=2

=0 时,HK为常数,t=

HK=

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