题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的一条弦,C、D是⊙O上的两个动点,且在AB弦的异侧,连接CD.
(1)若AC=BC,AB平分∠CBD,求证:AB=CD;
(2)若∠ADB=60°,⊙O的半径为1,求四边形ACBD的面积最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)证=
=
即可得
=
,继而求证结论;
(2)如图,连接OA、OB、OC,OC交AB于H,由∠ADB=60°和AC=BC 求得∠ADC=∠BDC= =30°,OC⊥AB,AH=BH ,继而求出AB的长,由S四边形ABCD=S△ABD+ S△ABC可知,当D点为优弧AB的中点时,即CD为⊙O的直径时,四边形ACBD的面积最大,进而求解.
(1)∵AC=BC,
∴=
∵AB平分∠CBD,
∴∠ABC=∠ABD,
∴=
,
∴=
,
∴AB=CD;
(2)连接OA、OB、OC,OC交AB于H,如图,
∵=
,
∴∠ADC=∠BDC=∠ADB=30°,OC⊥AB,AH=BH,
∴∠BOC=60°,
∴OH= OB=
,BH=
OH=
,
∴AB=2BH=.
∵四边形ACBD的面积=S△ABC+S△ABD,
∴当D点到AB的距离最大时,S△ABD的面积最大,四边形ACBD的面积最大,此时D点为优弧AB的中点,
即CD为⊙O的直径时,四边形ACBD的面积最大,
∴四边形ACBD的面积最大值为
×2=
.

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