Question

【题目】如图，的直径为，弦为，为半圆弧的中点，连，的平分线交于点.

（1）求证：；

（2）直接写出的长

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）利用圆周角定理可得∠ADB=∠ACB=90°，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DA=DB，则可判断△ADB为等腰直角三角形，把△CBD绕点D逆时针旋转90°得到△EDA，利用旋转的性质得∠CDE=90°，AE=BC，DE=DC，∠DAE=∠DBC，接着证明点C、A、E共线得到CA+CE= CD，从而得到结论；（2）利用勾股定理计算出AC=8，利用（1）中结论得到CD=7 ，然后证明DI=DB=5 ，从而得到CI=CD-DI=2．

（1）如图，过点作交延长线于点，

∵为的直径，

∴，

∵为半圆弧的中点，

∴，，

∵，

∴CD=DF，

∴（HL），

∴ ，

∴；

（2）在Rt△ABC中，，

∴CD=6+8，

∴CD=7 ，

在Rt△ABD中，BD= AB=5 ，

∵IB平分∠ABC，

∴∠4=∠CBI，

∵∠1=∠3=45°，

∴∠2=∠3+∠CBI=∠4+∠1=∠DBI，

∴DI=DB=5 ，

∴CI=CD-DI=7 -5 =2 （cm）．