Question

【题目】已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：

（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+ ， PA= ， 则：
①线段PB= ，PC= ；
②猜想：PA2 ， PB2 ， PQ2三者之间的数量关系为 ；
（2）如图② ， 若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足 ， 求的值．（提示：请利用备用图进行探求）

Answer 1

【答案】
（1）；2；PA2+PB2=PQ2
（2）

解：如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB．

∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DCPD+PD2，

PB2=（DP﹣BD）2=（PD﹣DC）2=DC2﹣2DCPD+PD2，

∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，

∴AP2+BP2=2PC2．

∵△CPQ为等腰直角三角形，

∴2PC2=PQ2．

∴AP2+BP2=PQ2．

（3）

解：如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

①当点P位于点P1处时．

∵=，

∴．

∴．

在Rt△CP1D中，由勾股定理得：，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：，

∴．

②当点P位于点P2处时．

∵，

∴．

在Rt△CP2D中，由勾股定理得：，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC，

∴．

综上所述，的比值为或．

【解析】（1）①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，从而可求得CD、PD的长，然后在Rt三角形CDP中依据勾股定理可求得PC的长；②△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，从而可求得：CD=AD=DB，然后根据AP=DC﹣PD，PB=DC+PD，可证明AP2+BP2=2PC2 ， 因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2 ， 所以可得出AP2+BP2=PQ2
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP﹣BD）=（PD﹣DC），可证明AP2+BP2=2PC2 ， 因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2 ， 所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；
（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．
此题综合考查了通过构造直角三角形，利用勾股定理解题的知识.