Question

把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当的裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．
(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．

①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm²，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm²，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．

Answer 1

(1)剪掉的正方形的边长为9 cm；
(2)当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm².
(3)此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.

解：(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm，
则(40－2x)²＝484，
即40－2x＝±22，解得x₁＝31(不合题意，舍去)，x₂＝9.
②侧面积有最大值．
设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm²，
则y与x的函数关系式为y＝4(40－2x)x，
即y＝－8x²＋160x，
改写为y＝－8(x－10)²＋800，∴当x＝10时，y_最大＝800.

(2)在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为x cm，
2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550，
解得x₁＝－35(不合题意，舍去)，x₂＝15.
∴剪掉的正方形的边长为15 cm.
答：(1)剪掉的正方形的边长为9 cm；
(2)当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm².
(3)此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.