Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣ x﹣2与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，连接BD

（1）求点A，B，C的坐标．
（2）当点P时x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l，交抛物线于点M，交直线BD于点N
①当点P在线段OB上运动时（不与O、B重合），求m为何值时，线段MN的长度最大，并说明此时四边形DCMN是否为平行四边形
②当点P的运动过程中，是否存在点M，使△BDM是以BD为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y= x2﹣ x﹣2中，令y=0可得0= x2﹣ x﹣2，解得x=﹣1或x=4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

在y= x2﹣ x﹣2中，令x=0可得y=﹣2，

∴C（0，﹣2）；

（2）

①∵D与C关于x轴对称，

∴D（0，2），且B（4，0），

∴可设直线BD解析式为y=kx+2，把B点坐标代入可得4k+2=0，解得k=﹣ ，

∴直线BD解析式为y=﹣ x+2，

∵P（m，0），

∴N（m，﹣ m+2），M（m， m2﹣ m﹣2），

∵P在线段OB上，

∴M在x轴下方，

∴MN=﹣ m+2﹣（ m2﹣ m﹣2）=﹣ m2+m+4=﹣ （m﹣1）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴当m=1时，MN有最大值，最大值为 ，

∵CD=4≠MN，

∴四边形DCMN不是平行四边形；

②∵点P在线段OB上运动，

∴点M在第四象限，

∴∠MDB≠90°，

当△BDM是以BD为直角边的直角三角形时，只有MB⊥BD，如图，

设P（m，0），则M（m， m2﹣ m﹣2），且B（4，0），D（0，2），

∴BP=4﹣m，PM=﹣ m2+ m+2，OB=4，OD=2，

∵∠MBD=90°，

∴∠OBD+∠PBM=∠ODB+∠OBD=90°，

∴∠ODB=∠PMB，

∴△OBD∽△PMB，

∴ = ，即 = ，解得m=3或m=4（舍去），

∴M点坐标为（3，﹣2）．

【解析】（1）利用抛物线解析式容易求得A、B、C的坐标；（2）①可求得直线BD的解析式，利用m可表示出MN的长，则可利用二次函数的性质求得MN的最大值，再判断MN与CD是否相等即可；②由题意可知只能BM⊥BD，可设出M点的坐标，从而可表示出BP和MP的长，利用△OBD∽△PMB，可得到关于M点坐标的方程，从而可求得M点的坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小，以及对平行四边形的判定与性质的理解，了解若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积．