题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知A(﹣1,0)、C(4,0),BC⊥x轴于点C,且AC=BC,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点E是线段AB上一动点(不与A、B重合),过点E作x轴的垂线,交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)点E的坐标为(,);(3)存在,P1(,),P2(,),P3(,).
【解析】
(1)先求得点A的坐标,然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组,从而可求得b、c的值;
(2)设点E的坐标为(x,x+1),则点F的坐标为F(x,x2﹣2x﹣3),则可得到EF与x的函数关系式,利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标;
(3)存在,分两种情况考虑:(i)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m2﹣2m﹣3),由E的纵坐标与P纵坐标相等列出关于m的方程,求出方程的解得到m的值,确定出P1,P2的坐标;(ⅱ)过点F作b⊥EF交抛物线于P3,设P3(n,n2﹣2n﹣3),根据F的纵坐标与P的纵坐标相等列出关于n的方程,求出方程的解得到n的值,求出P3的坐标,综上得到所有满足题意P得坐标.
(1)∵A(﹣1,0)、C(4,0),
∴OA=1,OC=4,
∴AC=5,
∵BC⊥x轴于点C,且AC=BC,
∴B(4,5),
将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得:,解得:b=﹣2,c=﹣3.
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.
(2)∵直线AB经过点A(﹣1,0),B(4,5),
设直线AB的解析式为y=kx+b,
∴,解得:,
∴直线AB的解析式为:y=x+1,
∵二次函数y=x2﹣2x﹣3,
∴设点E(t,t+1),则F(t,t2﹣2t﹣3),
∴EF=(t+1)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣(t﹣),
∴当t=时,EF的最大值为,
∴点E的坐标为().
(3)存在,分两种情况考虑:
(ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m2﹣2m﹣3),
∴,
∴m1=,m2=
∴P1(,),P2(,)
(ⅱ)过点F作b⊥EF交抛物线于P3,设P3(n,n2﹣2n﹣3)
则有:n2﹣2n﹣3=﹣
∴n1=, n2=(舍去)
∴P3(,),
综上所述,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形所有点P的坐标为:P1(,),P2(,),P3(,).
【题目】我校草根文学社为了了解学生课外阅读情况,抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间,过程如下:
数据收集,从全校随机抽取20名学生,进行了每周用于课外阅读时间的调查,数据如下(单位:分)
30 | 60 | 81 | 50 | 40 | 110 | 130 | 146 | 90 | 100 |
60 | 81 | 120 | 140 | 70 | 81 | 10 | 20 | 100 | 81 |
整理下分段整理样本数据并补全表格.
课外阅读时间x(分) | 0≤x<40 | 40≤x<80 | 80≤x<120 | 120≤x<160 |
等级 | D | C | B | A |
人数 | 3 |
| 8 |
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分析数据:补全下列表格中的统计量.
平均数 | 中位数 | 众数 |
80 |
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得出结论:
(1)用样本中的统计量估计我校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为 ;
(2)假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟,请你选择样本中的平均数估计我校学生每人一年(按52周计算)平均阅读多少本课外书?