题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知A(﹣10)、C40),BCx轴于点C,且ACBC,抛物线yx2+bx+c经过AB两点.

1)求抛物线的表达式;

2)点E是线段AB上一动点(不与AB重合),过点Ex轴的垂线,交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;

3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】1yx22x3;(2)点E的坐标为();(3)存在,P1),P2),P3).

【解析】

1)先求得点A的坐标,然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于bc的方程组,从而可求得bc的值;

2)设点E的坐标为(xx+1),则点F的坐标为Fxx22x3),则可得到EFx的函数关系式,利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标;

3)存在,分两种情况考虑:(i)过点EaEF交抛物线于点P,设点Pmm22m3),由E的纵坐标与P纵坐标相等列出关于m的方程,求出方程的解得到m的值,确定出P1P2的坐标;()过点FbEF交抛物线于P3,设P3nn22n3),根据F的纵坐标与P的纵坐标相等列出关于n的方程,求出方程的解得到n的值,求出P3的坐标,综上得到所有满足题意P得坐标.

1)∵A(﹣10)、C40),

OA1OC4

AC5

BCx轴于点C,且ACBC

B45),

将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得:,解得:b=﹣2c=﹣3

∴抛物线的解析式为yx22x3

2)∵直线AB经过点A(﹣10),B45),

设直线AB的解析式为ykx+b

,解得:

∴直线AB的解析式为:yx+1

∵二次函数yx22x3

∴设点Ett+1),则Ftt22t3),

EF=(t+1)﹣(t22t3)=﹣(t

∴当t时,EF的最大值为

∴点E的坐标为().

3)存在,分两种情况考虑:

(ⅰ)过点EaEF交抛物线于点P,设点Pmm22m3),

m1=m2=

P1),P2

(ⅱ)过点FbEF交抛物线于P3,设P3nn22n3

则有:n22n3=﹣

n1=, n2=(舍去)

P3),

综上所述,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形所有点P的坐标为:P1),P2),P3).

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网