Question

请对5×5表格中的25个格子进行黑白染色，使得其中每个2×2表格黑白染色的情况各不相同（不允许旋转和翻）．

Answer 1

考点：染色问题

专题：传统应用题专题

分析：若在方格中确定了一个角的颜色，其他3格有8种可能性．
以左上角的大方格为例，里面每个格都可以作为一个的左上角，根据抽屉原理，左上角同一色的块不超过8个．故而在每个的大方格都染有8黑8白，继而可以推出每条边上的方格都是黑白数相同，即2黑2白，故四个角一定是同色．
不妨设四个角都是白色，那么四条边中心三个都是2黑1白．四个角的格子会在1个 的正方形中用到，四条边中间的格子会在2个中用到，中心 的格子会在4个中用到．16种 的染法共需用32黑32白，故而中心9格中有5白4黑．若 它的上半部分是2白，那么下半部分有4种可能．下半部分2白同理，故而横向连续的2白有4组或5组，其中
若第一行有则最后一行一定有，为5组，第一行没有则最后一行也没有，为4组．
若第一行和最后一行都没有2白组，那么白色 正方形一定在中间三行，继而可得一定在中间 内，要满足有4个2白组的条件，又不能出现一行3连白和一行3连黑直接相邻，试验可知不存在满足情况的条件．所以第一行和最后一行都有2白组．同理，最左边列和最右边列都有纵向2白组．所以每条边中间都一定是黑色．继而可知横向2黑组合纵向2黑组都各有5组．
由对称性，不妨设第一行左到右为“白白黑黑白”，由于有一个黑正方形，要么和某个边的两黑相连，要么就在中心．若在中心，那么中心部分剩下5个都是白色，根据之前的要求，只有右图一种填法，易知产生矛盾，不满足要求．故而黑正方形和某边两黑相连．那么由对称性，将已经确定的填好，如右下图所示．考虑A处，若为黑，那么B处为白，C处为黑，矛盾；故而A处只能为白、在此基础上，对黑色剩下5个块进行试验，可以得到满足要求的解．

解答： 解：根据分析作图如下：

点评：正确分析题意，理解每个2×2表格黑白染色的情况各不相同是解决此题的关键．