已知函数f(

1

x

)=

x

1-x

，则（　　）

A．f( 1 x )=f(x)

B．f( 1 x )=-f(x)

C．f( 1 x )= 1 f(x)

D．f( 1 x )+1=-f(x)

已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
（1）讨论y=f（x）的单调性；（2）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x₁、x₂总有不等式

1

2

[g(x1)+g(x2)]≥g(

x1+x2

2

)成立，则称函数y=g（x）为区间D上的“凹函数”．
试证明：当a=-1时，g(x)=|f(x)|+

1

x

为“凹函数”．

现有下列结论：
①若直线a，b不相交，则直线a，b为异面直线；
②函数f（x）=lgx-

1

x

的零点所在的区间是（1，10）；
③从总体中抽取的样本（x₁，y₂）（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）若记

.

x

=

1

n

n

i=1

 xi，

.

y

=

1

n

n

i=1

  yi，则回归直线

y

=bx+a必过点（

.

x

，

.

y

）；
④已知函数f（x）=2^x+2^-x，则y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称．
其中正确的结论序号是（注：把你认为正确结论的序号都填上）．

已知函数f(x)=ax2+

1

x

-2lnx（x＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x₁、x₂，总有不等式

1

2

[g(x1)+g(x2)]≥g(

x1+x2

2

)成立，则称函数y=g（x）为区间D上的“凸函数”．试证当a≥0时，f（x）为“凸函数”．

如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x₁，x₂∈I，都有

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数f(x)=

1

x

-alnx．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为下凸函数；
（Ⅱ）若f'（x）为f（x）的导函数，且x∈[

1

2

，2]时，|f'（x）|＜1，求实数a的取值范围．

如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x₁，x₂∈I，都有

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数f(x)=

1

x

-alnx．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为下凸函数；
（Ⅱ）若f'（x）为f（x）的导函数，且x∈[

1

2

，2]时，|f'（x）|＜1，求实数a的取值范围．

已知0＜a＜b，若函数f(x)=2x+

1

x

在[a，b]上单调递增，则对于任意x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，使f(a)≤

g(x1)-g(x2)

x1-x2

≤f(b)恒成立的函数g（x）可以是（　　）