题目内容

已知0＜a＜b，若函数f(x)=2x+
1
x
在[a，b]上单调递增，则对于任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，使f(a)≤
g(x1)-g(x2)
x1-x2
≤f(b)恒成立的函数g（x）可以是（　　）
分析：由于g′(x)=
lim
x1→x2
g(x1)-g(x2)
x1-x2
，故“f(a)≤
g(x1)-g(x2)
x1-x2
≤f(b)恒成立”?“恒有f（a）≤g′（x）≤f（b）”．再依据函数f（x）单调性，即可得到正确结论．
解答：解：由于对于任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，使f(a)≤
g(x1)-g(x2)
x1-x2
≤f(b)恒成立
则对于任意x∈[a，b]，恒有f（a）≤g′（x）≤f（b）
由于0＜a＜b，函数f(x)=2x+
1
x
在[a，b]上单调递增，
则只需使g′（x）=f（x）即可，
故答案为 B
点评：本题考查导数的概念，解题关键是在[a，b]上，将“f(a)≤
g(x1)-g(x2)
x1-x2
≤f(b)恒成立”转化为“恒有f（a）≤g′（x）≤f（b）”．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=
f(x)
x
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=
f(x)
x2
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2．
（Ⅰ）已知函数f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，求实数h的取值范围；
（Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，
x a b c a+b+c
f（x） d d t 4
求证：d（2d+t-4）＞0；
（Ⅲ）定义集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．
已知函数f（x）=
x-2
ax+1
(a＞1，x∈R，x≠-
1
a
)；
（1）试问：该函数的图象上是否存在不同的两点，它们的函数值相同，请说明理由；
（2）若函数F（x）=ax+f（x），试问：方程F（x）=0有没有负根，请说明理由．
（3）记G（x）=|ax-b|-b•ax，（x∈R），若G（x）有最小值，求b的取值范围．
已知定义在R上的奇函数f（x）．当x＜0时，f（x）=x2+2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）问：是否存在实数a，b（a≠b），使f（x）在x∈[a，b]时，函数值的集合为[
1
b
，
1
a
]？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=
f(x)
x
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=
f(x)
x2
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2．
（Ⅰ）已知函数f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，求实数h的取值范围；
（Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，
x a b c a+b+c
f（x） d d t 4
求证：d（2d+t-4）＞0；
（Ⅲ）定义集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．
已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2．
（Ⅰ）已知函数f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，求实数h的取值范围；
（Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，
xabca+b+c
f（x）ddt4
求证：d（2d+t-4）＞0；
（Ⅲ）定义集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．

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