Question

已知函数f(x)=ax2+

1

x

-2lnx（x＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x₁、x₂，总有不等式

1

2

[g(x1)+g(x2)]≥g(

x1+x2

2

)成立，则称函数y=g（x）为区间D上的“凸函数”．试证当a≥0时，f（x）为“凸函数”．

Answer 1

（Ⅰ）由f(x)=ax2+

1

x

-2lnx，得f′(x)=2ax-

1

x2

-

2

x

．（2分）
由函数f（x）为[1，+∞）上单调增函数，得f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2ax-

1

x2

-

2

x

≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥

1

2x3

+

1

x2

在[1，+∞）上恒成立．（4分）
令g（x）=

1

2x3

+

1

x2

，上述问题等价于a≥g（x）_max．
而g（x）=

1

2x3

+

1

x2

为在[1，+∞）上的减函数，则g(x)max=g(1)=

3

2

．
于是a≥

3

2

为所求．（6分）
（Ⅱ）证明：由f(x)=ax2+

1

x

-2lnx，
得

1

2

[f(x1)+f(x2)]=a•

x 21 + x 22

2

+

1

2

•(

1

x1

+

1

x2

)-(lnx1+lnx2)
=a•

x 21 + x 22

2

+

x1+x2

2x1x2

-ln(x1x2)．f(

x1+x2

2

)=a•(

x1+x2

2

)2+

2

x1+x2

-ln(

x1+x2

2

)2．
而

x 21 + x 22

2

≥

1

4

[(

x

21

+

x

22

)+2x1x2]=(

x1+x2

2

)2．①
∵a≥0，∴a•

x 21 + x 22

2

≥a•(

x1+x2

2

)2．（9分）
又（x₁+x₂）²=x₁²+x₂²+2x₁x₂≥4x₁x₂，
∴

x1+x2

2x1x2

≥

2

x1+x2

．②（11分）
∵x1x2≤(

x1+x2

2

)2，∴ln(x1x2)≤ln(

x1+x2

2

)2．
∴-ln(x1x2)≥-ln(

x1+x2

2

)2．③（13分）
由①、②、③，得a•

x 21 + x 22

2

+

x1+x2

2x1x2

-ln(x1x2)≥a•(

x1+x2

2

)2+

2

x1+x2

-ln(

x1+x2

2

)2．
即

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)，从而由凸函数的定义可知函数f（x）为凸函数．（14分）