19、如图所示，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC=95°，∠B=50°，求∠A和∠D．

如图所示，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC=95°，∠B=50°，求∠A和∠D。

23、平面内两条直线l₁∥l₂，它们之间的距离等于a．一块正方形纸板ABCD的边长也等于a．现将这块硬纸板如图所示放在两条平行线上．
（1）如图1，将点C放置在直线l₂上，且AC⊥l₁于O，使得直线l₁与AB、AD相交于E、F，证明：△AEF的周长等于2a；
请你继续完成下面的探索：
（2）如图2，若绕点C转动正方形硬纸板ABCD，使得直线l₁与AB、AD相交于E、F，试问△AEF的周长等于2a还成立吗？并证明你的结论；
（3）如图3，将正方形硬纸片ABCD任意放置，使得直线l₁与AB、AD相交于E、F，直线l₂与BC、CD相交于G，H，设△AEF的周长为m₁，△CGH的周长为m₂，试问m₁，m₂和a之间存在着什么关系？试证明你的结论．

24、如图所示，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于C，BC和AD的延长线相交于点E，且AB=AE．
（1）求证：AD⊥PD；
（2）若圆的半径为1，△ABE是等边三角形，求BP的长．

 初始问题：如图1，已知两个同心圆，直线AD分别交大⊙O于点A、D，交小⊙O于点B、C．
AB与CD相等吗？请证明你的结论．
类比研究：如图2，若两个等边三角形ABC和A₁ B₁ C₁的中心（点O）相同，且满足AB∥A₁B₁，BC∥B₁C₁，AC∥A₁C₁，可知AB与A₁B₁，BC与B₁C₁，AC与A₁C₁之间的距离相等．
直线MQ分别交三角形的边于点M、N、P、Q，与AB所成夹角为∠α（30°＜∠α＜90°）．
（1）求

MN

PQ

（用含∠α的式子表示）；
（2）求∠α等于多少度时，MN=PQ．