，

证明：当时，  当时， ，当时，

∴，从而。

，

将上述个等式两边分别乘以，再相加，得

∴    ……………… ，

（Ⅲ）∵

（Ⅱ）依次对扇形区域染色，不同的染色方法种数为，其中扇形区域1与不同色的有种，扇形区域1与同色的有种。∴

∴不同的染色方法种数 。

当时，不同的染色方法种数 ， 当时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形