例1．求函数的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象.

解：∵原函数的定义域是x<0，值域是y>0,

∴由y=解出,

∴函数的反函数是,

作 y=(x(-∞,0))的图象，再作该函数关于直线y=x的对称曲线，即为函数的图象(如图).

例2．求函数的值域．

分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系.

解：∵　　 ∴　　 ∴　 y≠

∴函数的值域为{y|y≠}

例3 已知=(x<-1)，求；

解法1：⑴令=y=，∴=--①，∵x<-1，∴x=-;⑵∵x<-1，由①式知≥1,∴y<0;

⑶∴= -(x<0)；⑷=-2.

分析：由y=与y=互为反函数的关系可知：当y=中的x=a时y=b，则在y=中,当x=b时y=a，本题要求，设其为u，说明在函数=y=(x<-1)中，当y=时，x=u，问题转化为知原来函数中的y=而求x.

解法2：令=，变形得=1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2.

说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍的效果.

3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像

若的图象已作出或比较好作，那么它的反函数的图象可以由的图象关于直线y=x对称而得到；

⑵求反函数的定义域求原函数的值域；

⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同

2．证明结论(不要求掌握，根据实际情况处理)

证明：设M(a,b)是的图象上的任意一点，

则当x=a时，有唯一的值.

∵有反函数，

∴当x=b时，有唯一的值，

即点(b,a)在反函数的图象上.

若a=b，则M，是直线y=x上的同一个点，它们关于直线y=x对称.

若ab，在直线y=x上任意取一点P(c,c)，连结PM，P，M

由两点间的距离公式得：

PM=,P=，

∴PM=P.　 ∴直线y=x是线段M的垂直平分线，

∴点M, 关于直线y=x对称.

∵点M是y=f(x)的图象上的任意一点，

∴图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数的图象上，由与互为反函数可知，函数图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数的图象上，

∴函数与的图象关于直线y=x对称.

逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一定是互为反函数.

1．探究互为反函数的函数的图像关系

观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称.

5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系(在定义域、值域和对应法则方面). 函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究-互为反函数的函数图象间的关系.

①的反函数是

②的反函数是

4. 在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x轴的对称点(x,-y);

②点A(x,y)关于y轴的对称点(-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点(-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴的对称点(?,？);

3．反函数的求法：一解、二换、三注明

2．互为反函数的两个函数与间的关系：

----定义域、值域相反，对应法则互逆；

1．反函数的定义；

2.附加隐含条件的应用规律

⑴溶液无色透明时，则溶液肯定无有色离子。如Cu²⁺(蓝色)、Fe³⁺(棕黄色)、Fe²⁺(浅绿色)、(紫红色)等都有颜色，若无色溶液则说明这些离子不存在。

⑵强碱性溶液中肯定不存在与起反应的离子。

⑶强酸性溶液中肯定不存在与H⁺起反应的离子

⑷与水反应的离子，如O^2-、N^3-、P^3-等在水溶液中不存在。

试题枚举

[例1]下列离子方程式正确的是

A．NaHSO₃溶液与NaOH溶液反应：HSO+OH^－＝SO+H₂O

B．少量二氧化碳通入足量的NaOH溶液：CO₂+OH^－＝

C．Fe与盐酸反应产生H₂：2Fe+6H⁺＝2Fe³⁺+3H₂↑

D．氨水和醋酸溶液混合NH₃·H₂O+CH₃COOH＝NH+CH₃COO^－+H₂O

解析: 判断离子方程式的正误应注意①是否符合客观实际；②应该用化学式表示的(气体、沉淀、水、弱酸、弱碱、氧化物、单质等)是否写对，应该删掉的离子是否删去；③是否配平，电子转移是否合理．

据此检查各选项，A、D正确．B错，因少量的CO₂通入足量的NaOH溶液中，应生成CO．

正确的写法为：CO₂+2OH^－＝CO+H₂O

C错．因不符合客观实际，应生成Fe²⁺．

正确的写法为：Fe+2H⁺＝Fe²⁺+H₂↑

答案: AD

[例2.]下列各组离子中，能在强酸溶液里大量共存，并且溶液呈无色透明的是

A．MnO，K⁺，Na⁺，SO　　　　　 B．Na⁺，K⁺，HCO，Cl^－

C．Mg²⁺，NH，Cl^－，NO　　　　　 D．Ba²⁺，K⁺，S^2－，SO

解析：对于离子能否共存问题：必须考虑两个问题，一看同组离子是否发生反应(复分解或氧化还原)，二看是否满足题干要求．

有颜色离子：Fe³⁺，Fe²⁺，Cu²⁺，MnO……

强酸性(或强碱性)，说明溶液中除离子组内各离子外，还应有H⁺或(OH^－)，典型的氧化性离子(如Fe³⁺,MnO,Cr₂O等)和典型的还原性离子(如Fe²⁺，S^2－，I^－，SO等)在溶液中会发生氧化还原反应．据以上分析得此题正确选项为C．

答案：C

[例3](1)向NaHSO₄溶液中，逐滴加入Ba(OH)₂溶液中至中性，请写出发生反应的离子方程式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

(2)在以上中性溶液中，继续滴加Ba(OH)_2­溶液，请写出此步反应的离子方程式　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

解析：题目要求NaHSO₄溶液与Ba(OH)₂溶液反应呈中性，也即要求写出的离子方程式属于下列反应 2NaHSO₄　 +　 Ba(OH)₂ = 2H₂O + Na₂SO₄ + BaSO₄↓。则离子方程式为：2H⁺ + SO₄^2- + Ba²⁺ + 2OH^- =　 BaSO₄ ↓ + 2H₂O 。若向上述溶液中继续滴加B(OH)₂，则有 Ba²⁺ + SO₄^2-　 =　 BaSO₄ ↓

答案：2H⁺ + SO₄^2- + Ba²⁺ + 2OH^- =　 BaSO₄ ↓ + 2H₂O

　　　　 Ba²⁺ + SO₄^2-　 =　 BaSO₄ ↓