3.平面内有两定点上，求一点P使取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值.

2．已知点(-2，3)与抛物线y²=2px(p＞0)的焦点 的距离是5，则p=　　　　　　 .

1. 设双曲线两焦点为F₁、F₂,点Q为双曲线上除顶点外的任一点,过F₁作∠F₁QF₂的平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹是　(　　　 )

A.椭圆的一部分　 B.双曲线的一部分

C.抛物线的一部分　 D.圆的一部分.

[例1]设双曲线的渐近线为：，求其离心率.

错解：由双曲线的渐近线为：，可得：，从而

剖析：由双曲线的渐近线为是不能确定焦点的位置在x轴上的，当焦点的位置在y轴上时，，故本题应有两解，即：

或.

［例2］设点P(x,y)在椭圆上，求的最大、最小值.

错解：因 ∴，得：，同理得：，故　 ∴最大、最小值分别为3,-3.

剖析：本题中x、y除了分别满足以上条件外，还受制约条件的约束.当x=1时,y此时取不到最大值2,故x+y的最大值不为3.其实本题只需令，则，故其最大值为，最小值为.

［例3］已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程.

错解一： 故所求的双曲线方程为

错解二： 　由焦点知

故所求的双曲线方程为

错因：　这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法.

解法一： 　设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知　 整理得

解法二： 依题意，设双曲线的中心为,

则　　 　解得　 ,所以　

故所求双曲线方程为　

［例4］设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程.

错解：依题意可设椭圆方程为

则　　 ，

所以　　 ，即　

设椭圆上的点到点的距离为，

则　　

所以当时，有最大值，从而也有最大值。

所以　　 ，由此解得：

于是所求椭圆的方程为

错因：尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当时，有最大值，这步推理是错误的，没有考虑到的取值范围.事实上，由于点在椭圆上，所以有，因此在求的最大值时，应分类讨论.

正解：若，则当时，(从而)有最大值.

于是从而解得.

所以必有，此时当时，(从而)有最大值，

所以，解得

于是所求椭圆的方程为

［例5］从椭圆,(>b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F₁，A、B分别是椭圆长、短轴的端点，AB∥OM.设Q是椭圆上任意一点，当QF₂⊥AB时，延长QF₂与椭圆交于另一点P，若⊿F₁PQ的面积为20，求此时椭圆的方程.

解：本题可用待定系数法求解.

∵b=c, =c，可设椭圆方程为.

∵PQ⊥AB,∴k_PQ=-，则PQ的方程为y=(x-c)，

代入椭圆方程整理得5x²-8cx+2c²=0，

根据弦长公式，得,

又点F₁到PQ的距离d=c

∴ ,由

故所求椭圆方程为.

［例6］已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.

解：a=3,b=1,c=2;　 则F(-2，0)

由题意知：与联立消去y得：

设A(、B(，则是上面方程的二实根，由违达定理，

，又因为A、B、F都是直线上的点，

所以|AB|=

点评：也可利用“焦半径”公式计算.

［例7］(06年全国理科)设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求｜PQ｜的最大值.

解： 依题意可设P(0,1)，Q()，则｜PQ｜＝，又因为Q在椭圆上，所以，，｜PQ｜²＝＝

＝.

因为≤1，＞1，若≥，则≤1，当时，｜PQ｜取最大值；若1＜＜，则当时，｜PQ｜取最大值2.

［例8］已知双曲线的中心在原点，过右焦点F(2，0)作斜率为的直线，交双曲线于M、N 两点，且=4，求双曲线方程.

解：设所求双曲线方程为，由右焦点为(2，0).知C=2，b²=4-²

则双曲线方程为，设直线MN的方程为：，代入双曲线方程整理得：(20-8²)x²+12²x+5⁴-32²=0

　设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)_,则， .

解得　，.

故所求双曲线方程为：.

点评：利用待定系数法求曲线方程，运用一元二次方程的根与系数关系将两根之和与积整体代入，体现了数学的整体思想，也简化了计算，要求学生熟练掌握.

19.抛物线的焦半径公式：

抛物线，

抛物线，

抛物线，

抛物线，

4．抛物线的几何性质

(1)范围

因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

(2)对称性

以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．

(3)顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．

(4)离心率

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．

3．共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线.　 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上. 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1.

2．共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 .

椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着相似之处，也有着一定的区别,因此，要准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系

1．等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线.　 等轴双曲线的性质：(1)渐近线方程为：；(2)渐近线互相垂直；(3)离心率.

13. 抛物线定义：

平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.