[例1] {}是正数组成的数列,其前n项和为,并且对于所有的自然数,与2的等差中项等于与2的等比中项.

(1)写出数列{}的前3项;

(2)求数列{}的通项公式(写出推证过程);

错解：由(1)猜想数列{}有通项公式=4-2.

下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是

=4-2.　 (∈N).

①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.

②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有

将=4-2代入上式，得，解得

由题意,有

将代入，化简得

解得.∴

这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.

根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.

错因在于解题过程中忽视了取值的取舍.　

正解：由(1)猜想数列{an}有通项公式a_n=4n-2.

猜想数列{}有通项公式=4-2.

下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是

=4-2.　 (∈N).

①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.

②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有

将=4-2代入上式，得，解得

由题意,有

将代入，化简得

解得.由∴

这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.

根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.

[例2]　用数学归纳法证明对于任意自然数，

错解：证明：假设当(N)时，等式成立，

　　　即，

　　　那么当时，

　　　这就是说，当时，等式成立．

　　可知等式对任意N成立．

错因在于推理不严密，没有证明当的情况 ．

正解：证明：(1)当时，左式，右式，所以等式成立．

　　　(2)假设当()时，等式成立，

　　　即，

　　　那么当时，

　　　这就是说，当时，等式成立．

　　　由(1)、(2)，可知等式对任意N成立．

[例3]　是否存在自然数，使得对任意自然数，都能被整除，若存在，求出的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

　分析　本题是开放性题型，先求出，，…再归纳、猜想、证明．

解：，

，

，

　　……

　　猜想， 能被36整除，用数学归纳法证明如下：

　　(1)当时，，能被36整除．

　　(2)假设当，(N)时，能被36整除．

　　那么，当时，

　　由归纳假设，能被36整除，

　　当为自然数时，为偶数，则能被36整除．

　　∴ 能被36整除，

　　这就是说当时命题成立．

　　由(1)、(2)对任意，都能被36整除．

　　当取大于36的自然数时，不能被整除，所以36为最大．

　[例4] 设点是曲线C：与直线的交点，过点作直线的垂线交轴于，过点作直线的平行线交曲线C于，再过点作的垂线作交X轴于，如此继续下去可得到一系列的点，，…，，…如图，试求的横坐标的通项公式．

　分析 本题并没有指明求通项公式的方法，可用归纳--猜想--证明的方法，也可以通过寻求与的递推关系式求的通项公式．

解：解法一　 与(，)联立，解得

　直线的方程为，　令，得，所以点

　直线的方程为与联立，消元得()，解得，　所以点(，)．

直线的方程为，

　令，得，所以点　同样可求得点(，0)

　　　……

　由此推测(，0)，即

　　用数学归纳法证明

　　(1)当时，由点的坐标为(，0)，

　　即，所以命题成立．

　　(2)假设当时命题成立，

　　　即，0)，则当时，

　　　由于直线的方程为，

　　　把它与(，)联立，

　　　消去可得()，

　　　∴

　　　于是

　　　即点的坐标为(，)．

　　　∴ 直线的方程为

　　　令得，

　　　即点的坐标为(，0)

　　　∴ 当时，命题成立．

　解法二　设点，的坐标分别为(，0)、(，0)，

　　　建立与的递推关系，即，

　　　由数列是等差数列，且，公差

　　　可求得()，．

用数学归纳法证明与自然数n有关的几何命题，由k过渡到k+1常利用几何图形来分析图形前后演变情况．

[例5] 有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n²-n+2个部分．

证明①当n＝1时，即一个圆把平面分成二个部分f(1)=2

又n＝1时，n²-n+2＝2，∴命题成立

②假设n＝k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k²-k+2个

部分，那么设第k+1个圆记⊙O，由题意，它与k个圆中每个圆

交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其它k个圆相交于2k

个点．把⊙O分成2k条弧而每条弧把原区域分成2块，因此这平

面的总区域增加2k块，即f(k+1)＝k²-k+2+2k=(k+1)²-(k+1)+2

即n＝k+1时命题成立．

由①②可知对任何n∈N命题均成立．

说明:　 本题如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，研究第k+1个圆与其它k个圆的交点个数问题．

　[例6] 已知n≥2，n∈N

②假设n=k时，原不等式成立．

由①②可知，对任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立．

3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法.

2. 应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果

1.归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.

而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.

14.　 数学归纳法的步骤：

　　 (1)证明当 (如 或2等)时，结论正确；

　　 (2)假设 时结论正确，证明 时结论也正确．

13.　 数学归纳法：设{p_n}是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题p₁成立；⑵在假设p_k成立的前提上，推出p_k+1也成立，那么可以断定，{p_n}对一切正整数成立.

12.　 应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真.

11.　 反证法：判定非q为假，推出q为真的方法.

10.　 综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.　

9.　　 分析法：从原因推导到结果的思维方法.