19. (本小题满分12分)

　 一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.

(1)　　　 求z的值. 　 　

(2)　　　 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;

(3)　　　 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,　 8.6, 9.2,　 9.6,　 8.7,　 9.3,　 9.0,　 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

解: (1).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400

(2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S₁,S₂;B_1,B₂,B₃,则从中任取2辆的所有基本事件为(S₁, B₁), (S₁, B₂) , (S₁, B₃) (S₂ ,B₁), (S₂ ,B₂), (S₂ ,B₃),( (S₁, S₂),(B₁ ,B₂), (B₂ ,B₃) ,(B₁ ,B₃)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S₁, B₁), (S₁, B₂) , (S₁, B₃) (S₂ ,B₁), (S₂ ,B₂), (S₂ ,B₃),( (S₁, S₂),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为.

(3)样本的平均数为,

那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4,　 8.6,　 9.2,　 8.7,　 9.3,　 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为.

[命题立意]:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.

18.(本小题满分12分)

　　 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,　 AA=2,　 E、E分别是棱AD、AA的中点. 　 　

(1)　　　 设F是棱AB的中点,证明：直线EE//平面FCC；

(2)　　　 证明:平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

证明:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中点F₁，

连接A₁D，C₁F₁，CF₁，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，

所以CDA₁F₁，A₁F₁CD为平行四边形，所以CF₁//A₁D，

又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE₁//A₁D，

所以CF₁//EE₁，又因为平面FCC，平面FCC，

所以直线EE//平面FCC.

(2)连接AC,在直棱柱中，CC₁⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

所以CC₁⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2,

　F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，

,△ACF为等腰三角形，且

所以AC⊥BC,　 又因为BC与CC₁都在平面BB₁C₁C内且交于点C,

所以AC⊥平面BB₁C₁C,而平面D₁AC,

所以平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

[命题立意]: 本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定.熟练掌握平行和垂直的判定定理.完成线线、线面位置关系的转化.

17.(本小题满分12分)设函数f(x)=2在处取最小值.

(1)　　 求.的值;

(2)　　 在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知,求角C..

解: (1)

因为函数f(x)在处取最小值，所以,由诱导公式知,因为,所以.所以 　 　

(2)因为,所以,因为角A为ABC的内角,所以.又因为所以由正弦定理,得,也就是,

因为,所以或.

当时,;当时,.

[命题立意]:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.

16.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.

[解析]:设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示: 　 　

产品　 设备	A类产品　 (件)(≥50)	B类产品　 (件)(≥140)	租赁费　　 (元)
甲设备	5	10	200
乙设备	6	20	300

则满足的关系为即:,

作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元.

答案:2300

[命题立意]:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题..

15.执行右边的程序框图，输出的T=　　　　　 . 　 　

[解析]:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2;

S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;

S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30

答案:30

[命题立意]:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以

反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量,

注意每个变量的运行结果和执行情况.

14.若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是　　　　 . 　 　

[解析]: 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点(0，a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是. 　 　

答案:

[命题立意]:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.

13.在等差数列中,,则.

[解析]:设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以. 　 　

答案:13.

[命题立意]:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.

12. 已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则(　　　 ). 　 　

A.　　　　　 B.

C. 　　　　　D.

[解析]:因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数， ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D. 　 　

答案:D.

[命题立意]:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.

第卷

11.在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为(　　　 ).

A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 　 　

[解析]:在区间 上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A. 　 　

答案:A

[命题立意]:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得.

10. 设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为(　　 ). 　 　

A.　　 B.　　 C. 　　　D.

[解析]: 抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为A,所以△OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为,故选B. 　 　

答案:B.

[命题立意]:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.