例1 已知角的终边经过点P(2，－3)(如图)，求的六个三角函数值.

解：∵x＝2，y＝－3

∴

于是　

例2求下列各角的六个三角函数值.

(1)0　　　　　 (2)π　　　 (3)　　　 (4)

解：(1)因为当＝0时，x＝r，y＝0，所以

sin0=0　　 cos0=1　　　　　　 tan0=0　　 cot0不存在

sec0=1　　 csc0不存在

(2)因为当＝π时，x＝－r，y＝0，所以

sinπ＝0 　cosπ＝－1　　 tanπ＝0　 　cotπ不存在

secπ＝－1 　cscπ不存在

(3)因为当时，x＝0，y＝－r，所以

　　　 不存在　　 　

不存在　　 　

(4)当a=时 ,所以

　　 sin=1　　　 cos=0　　　　 tan不存在　 cot=0

　　 sec不存在　　 csc=1

例3填表：

a	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
弧度

例4 　⑴ 已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值

⑵已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a¹0)求2sina+cosa的值

解：⑴由定义 ：　 sina=-　 cosa=　 ∴2sina+cosa=-

⑵若 　则sina=-　 cosa=　 ∴2sina+cosa=-

若 　则sina=　 cosa=-　 ∴2sina+cosa=

例5　 求函数的值域

解： 定义域：cosx¹0 ∴x的终边不在x轴上

又∵tanx¹0　 ∴x的终边不在y轴上

当x是第Ⅰ象限角时， cosx=|cosx|　 tanx=|tanx|　 ∴y=2

当x是第Ⅱ象限角时,|cosx|=-cosx　 |tanx|=-tanx ∴y=-2

当x是第Ⅲ象限角时, 　|cosx|=-cosx　 |tanx|=tanx ∴y=0

当x是第Ⅳ象限角时, 　|cosx|=cosx　 |tanx|=-tanx ∴y=0

4.注意:

(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.

(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.

(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.

(4)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关.

(5)比值只与角的大小有关.

(6)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:

任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的. 即正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离， 正切函数值是纵坐标比横坐标，余切函数值是横坐标比纵坐标，正割函数值是距离比横坐标，余割函数值是距离比纵坐标.

(7)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.

3.突出探究的几个问题：

①角是“任意角”，当b=2kp+a(kÎZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用

③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.

⑤定义域：对于正弦函数，因为r＞0，所以恒有意义，即取任意实数，恒有意义，也就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数，因为x＝0时，无意义，即tan无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时，才有x＝0，所以当的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tan恒有意义，所以正切函数的定义域是.从而有

2．比值叫做的正弦　　 记作：　

　比值叫做的余弦　　 记作：　

　比值叫做的正切　　 记作：　

比值叫做的余切　　 记作：　

比值叫做的正割　　 记作：　

　 比值叫做的余割　　 记作： 　　

根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角，上述六个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan、sec无意义；当角的终边在横轴上时，即＝kπ(k∈Z)时，终边上任意一点P的纵坐标y都为0，所以cot、csc无意义，除此之外，对于确定的角，上面的六个比值都是惟一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.

以上六种函数，统称为三角函数.

对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究.

1.设是一个任意角，在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)

则P与原点的距离

2.前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数.

1.在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数:

24．(2010·南平模拟)人体血液里Ca²⁺离子的浓度一般采用g/cm³来表示。抽取一定体积

的血样，加适量的草酸铵［(NH₄)₂C₂O₄］溶液，可析出草酸钙(CaC₂O₄)沉淀，将

此草酸钙沉淀洗涤后溶于强酸可得草酸(H₂C₂O₄)，再用KMnO₄溶液滴定即可测定

血液样品中Ca²⁺的浓度。某研究性学习小组设计如下实验步骤测定血液样品中Ca²⁺的浓

度：

[配制KMnO₄标准溶液]下图是配制50mLKMnO₄标准溶液的过程示意图。

(1)请你观察图示判断其中不正确的操作有(填序号)____________；

(2)其中确定50mL溶液体积的容器是(填名称)__________________；

(3)如果按照图示的操作所配制的溶液进行实验，在其他操作均正确的情况下，所测得的实验结果将____________(填偏大或偏小)

[测定血液样品中Ca²⁺的浓度]抽取血样20.00mL，经过上述处理后得到草酸，再用0.020mol/LKMnO₄溶液滴定，使草酸转化成CO₂逸出，这时共消耗12.00mL KMnO₄溶液。

(4)已知草酸跟KMnO₄反应的离子方程式为：

2MnO₄^―+5H₂C₂O₄+6H⁺＝2Mn^x++10CO₂↑+8H₂O

则式中的________________。

(5)滴定时，根据现象_____________________________，即可确定反应达到终点。

(6)经过计算，血液样品中Ca²⁺离子的浓度为________mg/cm³。

[解析](1)量筒不能用于配制溶液，视线应该与凹液面的最低点相平读数，所以②⑤操作错误；(2)配制50mL一定物质的量浓度KMnO₄标准溶液需要50mL的容量瓶；(3)仰视读数时，定容时，所加的水超过刻度线，体积偏大，所以浓度偏小。(4)~(6)血样处理过程中发生反应的离子方程式依次是：①Ca²⁺+C₂O₄^2－＝CaC₂O₄↓；②CaC₂O₄+2H⁺＝Ca²⁺+H₂C₂O₄；③2MnO₄^―+5H₂C₂O₄+6H⁺＝2Mn^x++10CO₂↑+8H₂O，由此可得如下关系式：5Ca²⁺-5CaC₂O₄-5H₂C₂O₄-2MnO₄^―，所以n(Ca²⁺)＝n(MnO₄^-)＝×0.0120L

×0.020mol·L^－1＝6.0×10^-4mol，血液样品中Ca²⁺的浓度＝＝1.2×10^－3g/cm3＝1.2mg/cm³。对于反应③根据电荷守恒，2×(－1)+6×(+1)＝2×(+x)，所以x＝2。草酸溶液无色，当反应正好完全进行的时候，多加一滴KMnO₄溶液，溶液恰好由无色变为紫红色。

[答案](1)②⑤　 (2)容量瓶　 (3)偏小

(4)2　　 (5)溶液由无色变为紫红色　　 (6)1.2

23．(2010·石家庄模拟)用质量分数为36.5%的浓盐酸(密度为1.16g/cm³)配制成1mol/L的稀盐酸。现实验室仅需要这种盐酸220mL。试回答下列问题：

(1)配制稀盐酸时，应选用容量为______mL的容量瓶；

(2)经计算需要______mL浓盐酸，在量取时宜选用下列量筒中的______。

　　 A．5mL　　 B．10mL　　 C．25mL　　 D．50mL

(3)在量取浓盐酸后，进行了下列操作：

　　 ①等稀释的盐酸其温度与室温一致后，沿玻璃棒注入250mL容量瓶中。

　　 ②往容量瓶中小心加蒸馏水至液面接近环形标线2-3 cm处，改用胶头滴管加蒸馏水，使溶液的凹面底部与瓶颈的环形标线相切。

　　 ③在盛盐酸的烧杯中注入蒸馏水，并用玻璃棒搅动，使其混合均匀。

　　 ④用蒸馏水洗涤烧杯和玻璃棒2至3次，并将洗涤液全部注入容量瓶

上述操作中，正确的顺序是(填序号)____________。

(4)在上述配制过程中，用刚刚洗涤洁净的量筒来量取浓盐酸，其配制的稀盐酸浓度是______(填“偏高”、“偏低”、“无影响”)。若未用蒸馏水洗涤烧杯内壁或未将洗涤液注入容量瓶，则配制的稀盐酸浓度是____________(填“偏高”、“偏低”、“无影响”)。

[解析](1)由于实验室里没有220mL容量瓶，所以必须选用250mL容量瓶，先配制250mL溶液，再从其中取出220mL即可。(2)c(HCl)＝＝＝11.6mol/L。加水稀释前后HCl的物质的量不变，所以11.6mol/L·V(HCl)＝250mL×1mol/L，解得V(HCl)＝21.6mL，应该选择25mL的量筒量取。(3)配制一定物质的量浓度的溶液基本步骤为：计算→称量或量取→溶解→冷却后转移洗涤→振荡后定容→倒转摇匀，所以正确的顺序是③①④②。(4)用刚刚洗涤洁净的量筒来量取浓盐酸，量取的盐酸被稀释了，其物质的量比实际偏小，所配制溶液的浓度偏低；若未用蒸馏水洗涤烧杯内壁或未将洗涤液注入容量瓶，则一部分溶质损失，所配制溶液的浓度偏低。

[答案](1)250　 (2)21.6　 C (3)③①④②　 (4)偏低；偏低

22．(2010·兴义模拟)Ba²⁺是一种重金属离子，有一环境监测小组欲利用Na₂S₂O₃、KI、K₂Cr₂O₇等试剂测定某工厂废水中Ba²⁺的浓度。

(1)现需配制250mL 0.100mol·L^－1标准Na₂S₂O₃溶液，所需要的玻璃仪器除量筒、250mL容量瓶、玻璃棒外，还需要_________________________。

(2)需准确称取Na₂S₂O₃固体的质量为_______________g。

(3)另取废水50.00mL，控制适当的酸度加人足量的K₂Cr₂O₇溶液，得BaCrO₄沉淀；沉淀经洗涤．过滤后，用适量的稀盐酸溶解，此时CrO₄^2－全部转化为Cr₂O₇^2－；再加过量KI溶液反应，反应液中再滴加上述Na₂S₂O₃溶液，反应完全时，消耗Na₂S₂O₂溶液36.00mL。已知有关的离子方程式为：

　　　　 ①Cr₂O₇^2－+6I^－+14H⁺＝2Cr³⁺+3I₂+7H₂O；

　　　　 ②I₂+2S₂O₃^2－＝2I^－+S₄O₆^2－。

试计算该工厂废水中Ba²⁺的物质的量浓度。

[解析](1)配制0.100mol·L^－1的Na₂S₂O₃溶液时，将Na₂S₂O₃固体在烧杯中溶解，将溶液沿玻璃棒转移到250mL容量瓶中，用胶头滴管定容，所以必须使用到这三种玻璃仪器。

(2)m(Na₂S₂O₃)＝0.250L×0.100mol·L^－1×158g·mol^－1＝3.95g。

(3)设Ba²⁺的物质的量为x，则有：

　　 Ba²⁺~BaCrO₂~Cr₂O₇^2－~I₂~3S₂O₃^2－

　 　1mol　　　　　　　　　　 　3mol

xmol　　　　　　　　　　 　36.00×0.100×10^－3mol

mol

所以c(Ba²⁺)mol·L^－1

[答案](1)胶头滴管　 (2)3.95　 (3)0.024mol·L^－1