映射与函数的概念；

函数的三要素及表示法，两个函数相同的条件；

正确理解函数值的含义，掌握函数值的求法，会灵活解决有关函数值的问题；特别是涉及分段函数或复合函数的值的问题.

(北京)过原点作曲线的切线，则切点的坐标为　　 ，切线的斜率为　　 　

(全国)设函数()，若是奇函数，

则　　　　

(湖南)设，，，…，，，则　 　　　　　　　

(安徽)若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为

　；；；

(海南)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

(全国Ⅱ文)已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为

(湖北文)已知函数的图象在点处的切线方程是，则　　　　 　　

(湖北文)曲线在点处的切线方程是　　　　　　

(安徽)对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是　　　　　　

(天津)已知函数在处取得极值.

　讨论和函数的的极大值还是极小值；

过点作曲线的切线，求此切线方程.

若,求

(届高三皖南八校联考)已知，则　　　　

已知，则　　　　　　　 　

已知函数，则　　　　

(保定市一模)设函数，则不存在

(山东模拟)求下列函数的导数：；

问题1．已知，求

设函数在点处可导，求

(届高三宝鸡中学第四次月考)已知，

则的值为　 　　　　　　　　　　不存在

设，求；

(江西)对于上可导的任意函数，若满足≥，则必有

　　　 ≤

　≥　　

设函数，在上均可导，且，则当时，有　　　　　　　

问题2．的导函数的图象如图所示，则的图象最有可能的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　

问题3．求下列函数的导数：

；　　　　　　　　　 ；

；　　　　　　　　　 　；

；　　　　　　　

；　　　　　　 　　　

问题4．求过点且与曲线相切的直线方程.

(全国Ⅱ文)过点作抛物线的切线，则其中一条切线为

(届高三攸县一中)已知曲线的一条切线方程是，则

的值为　　　 　　　　　或　 　　或

设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即

在定义式中，设，则，当趋近于时，趋近于，因此，导数的定义式可写成

.

导数的几何意义：

导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度.

它的几何意义是曲线上点()处的切线的斜率.因此，如果在点可导，则曲线在点()处的切线方程为

导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝

函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝.所以函数在处的导数也记作

可导: 如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导

可导与连续的关系：如果函数在点处可导，那么函数在点处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.

求函数的导数的一般步骤：求函数的改变量

求平均变化率；取极限，得导数

几种常见函数的导数：(为常数)；()；

； ；； ， 　； 　

求导法则：法则 　．

法则 　,

法则：

复合函数的导数：设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且 或

复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数

复合函数求导的基本步骤是：分解--求导--相乘--回代

导数的几何意义是曲线在点()处的切线的斜率，即，

要注意“过点的曲线的切线方程”与“在点处的切线方程”是不尽相同的，后者必为切点，前者未必是切点.

(江西)若，则　　　　　

(湖北)若，则常数的值为

(天津)设，，，则

(四川)　　　 　　　　　　　　　

(江西)　　 　等于　 等于　 　 等于 　　不存在

(天津)设等差数列的公差是，前项的和为，则　　

(全国Ⅱ)已知数列的通项，其前项和为，则　　　

(湖南)下列四个命题中，不正确的是

若函数在处连续，则

函数的不连续点是和

若函数，满足，则

(安徽)如图，抛物线与轴的正半轴交于

点，将线段的等分点从左至右依次记为，…，

，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为

，…，，从而得到个直角三角形

．当时，这些三角形

的面积之和的极限为　　　　　　　

(江西)已知函数在区间内连续，

且．求实数和的值；解不等式．

(广东)设函数，其中常数为整数.

当为何值时，≥；定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得.

试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根.

已知，求的值.

若(、为常数)，则　　　　 ；　　　　　

已知()，那么给一个定义，使在处

连续，则应是 　　　　　　　　　　

(济南一模)设是一个一元三次函数且，，

则　　　 　　　　　　　　　　　

设函数在处连续，且，则　

问题1．求下列函数的极限：

；；；

； ；();

(广东)　 　　(陕西)　 　

问题2．若，求、的值.

设，若，求常数、的值.

(重庆)设正数满足，则

问题3．讨论下列函数在给定点处的连续性.

，点；，点；

试讨论函数，点

问题4．已知 ，在区间上连续，求

(届高三四川眉山市一诊)已知函数在上连续且单调递增，则实数　　　　　　

问题5．已知函数，当时，求的最大值和

最小值；解方程；求出该函数的值域.

问题6．证明：方程至少有一个小于的正根.

函数极限的定义:

当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是，记作：，或者当时， ；当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是.

记作或者当当时，

如果且，那么就说当趋向于无穷大时，函数的极限是，记作：或者当时， .

常数函数: ()，有.

存在，表示和都存在，且两者相等所以中的既有，又有的意义，而数列极限中的仅有的意义.

趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于()时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向时，函数的极限是，记作.特别地，；.

.

其中表示当从左侧趋近于时的左极限，

表示当从右侧趋近于时的右极限.

对于函数极限有如下的运算法则：

如果，,那么,

,　 .

当是常数，是正整数时:,

这些法则对于的情况仍然适用.

函数在一点连续的定义: 如果函数在点处有定义，存在，

且，那么函数在点处连续.

函数在内连续的定义：如果函数在某一开区间内每一点处连续，就说函数在开区间内连续，或是开区间内的连续函数.

函数在上连续的定义：如果在开区间内连续，在左端点处有，在右端点处有就说函数在闭区间上连续,或是闭区间上的连续函数.

最大值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≥，那么在点处有最大值.

最小值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≤，那么在点处有最小值.

最大值最小值定理

如果是闭区间上的连续函数，那么在闭区间上有最大值和最小值.

极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；

指数型(和型)，通过变形使得各式有极限；

根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；

根的存在定理：若①函数在上连续，②，则方程至少有一根在区间内；若①函数在上连续且单调，②，则方程有且只有一根在区间内.

(重庆)　　　　　　　　

(上海)计算：　　　　　　　

(上海)计算：＝　　　　　　　 　

(湖南)已知数列()为等差数列，且，，

则　 　　　　

(湖北)已知不等式，其中为大于的整数，

表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足，≤，，…证明，，…

猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值(不必证明)；

)试确定一个正整数，使得当时，对任意，都有.