当外界条件(恒温恒容或恒温恒压)一定时, 同一可逆反应无论从正反应开始还是从逆反应开始,平衡时平衡混合物中任何相同组分的分数(体积、物质的量)均相等，这样的化学平衡互称为等效平衡。
15．(2008·江苏)已知函数f1(x)＝3|x－p1|，f2(x)＝2·3|x－p2|(x∈R，p1，p2为常数)，函数f(x)定义为：对每个给定的实数x，f(x)＝
(1)求f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件(用p1，p2表示)；
(2)设a，b是两个实数，满足a<b，且p1，p2∈(a，b)．若f(a)＝f(b)，求证：函数f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为(闭区间[m，n]的长度定义为n－m)．
解：(1)由f(x)的定义可知，
f(x)＝f1(x)(对所有实数x)
等价于f1(x)≤f2(x)(对所有实数x)，
这又等价于3|x－p1|≤2·3|x－p2|，
即3|x－p1|－|x－p2|≤2对所有实数x均成立．(*)
易知函数|x－p1|－|x－p2|(x∈R)的最大值为|p2－p1|，故(*)等价于3|p2－p1|≤2，即|p2－p1|≤log32，这就是所求的充分必要条件．
(2)分两种情形讨论．
(ⅰ)当|p1－p2|≤log32时，由(1)知f(x)＝f1(x)(对所有实数x∈[a，b])，则由f(a)＝f(b)及a<p1<b易知p1＝.再由f1(x)＝的单调性可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度为b－＝.如下图．
(ⅱ)当|p1-p2|>log32时，
不妨设p1<p2，则p2-p1>log32.
于是，当x≤p1时，
有f1(x)=3p1-x<3p2-x<f2(x)，
从而f(x)=f1(x)．
当x≥p2时，f1(x)=3x-p1=3p2-p1·3x-p2>3log32·3x-p2=f2(x)，从而f(x)=f2(x)．
当p1<x<p2时，f1(x)=3x-p1及f2(x)=2·3p2-x.
由方程3x0-p1=2·3p2-x0，解得f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标为
显然p1<x0＝P2－[(p2－p1)－log32]<p2，这表明x0在p1与p2之间．
由①易知f(x)＝
综上可知，在区间[a，b]上，
f(x)＝
如下图所示．
14．已知函数f(x)＝lg(k∈R且k>0)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)在[10，+∞)上单调递增，求k的取值范围．
解：(1)由>0及k>0得：>0.
①当0<k<1时，得x<1或x>；
②当k＝1时，得>0，∴x∈R且x≠1
③当k>1时，得x<或x>1，即x∈∪(1，+∞)；
综上，所求函数的定义域：当0<k<1时为(－∞，1)∪；当k>1时为∪(1，+∞)；当k＝1时为{x|x∈R且x≠1}．
(2)由f(x)在[10，+∞)上是增函数，∴>0得k>.
又f(x)＝lg＝lg，对任意的x1、x2，当10≤x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，即lg<lg，
得：<⇔(k－1)<0，
又∵>，
∴k－1<0，∴k<1.
综上可知k的取值范围是.
13．(2009·安徽安庆质检)函数f(x)＝log2的定义域为集合A，关于x的不等式22ax<()a+2x(a∈R)的解集为B，求使A∪B＝B的实数a的取值范围．
解：∵A∪B＝B，∴A⊂B.
由>0⇒A＝{x|1<x<2}；
由22ax<()a+2x⇒2ax<－a－2x，即2(a+1)x<－a，
①若a+1<0即a<－1，
则x>－.∵A⊂B，
∴－≤1⇒a≤－.∴a<－1.
②若a+1＝0即a＝－1，则x∈R，满足A⊂B，
∴a＝－1适合；
③若a+1>0，即a>－1，则x<－，
∵A⊂B，
∴－≥2⇒a≤－⇒－1<a≤－.
综上，a∈(－∞，－]．
12．定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期为2，且x∈(0,1)时，f(x)＝.
(1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；
(3)当λ为何值时，方程f(x)＝λ在x∈[－1,1]上有实数解．
解：(1)∵f(x)是x∈R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
又∵2为最小正周期，
∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)＝0.
设x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)，
f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴f(x)＝－，
∴f(x)＝
(2)设0<x1<x2<1，
f(x1)－f(x2)
＝
＝>0，
∴f(x)在(0,1)上为减函数．
(3)∵f(x)在(0,1)上为减函数，
∴<f(x)<，
即f(x)∈(，)．
同理，x在(－1,0)上时，f(x)∈(－，－)．
又f(－1)＝f(0)＝f(1)＝0，
∴当λ∈(－，－)∪(，)或λ＝0时，f(x)＝λ在[－1,1]内有实数解．
11．(2007·山东)函数y＝loga(x+3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1＝0上，其中mn>0，则+的最小值为__________．
答案：8
解析：∵y＝loga(x+3)－1，恒过点(－2，－1)，
∴A(－2，－1)，又A在直线上，
∴－2m－n+1＝0.即2m+n＝1.
又mn>0，∴m>0，n>0.
而+＝+
＝2++2+≥4+2＝8.
当n＝，m＝取“＝”，
∴+的最小值为8.故填8.
10．(2009·成都市外国语学校)已知函数f(x)＝2x－1的反函数为f－1(x)，g(x)＝log4(3x+1)，若f－1(x)≤g(x)，则x的取值范围是________．
答案：[0,1]
解析：由y＝2x－1得y∈(－1，+∞)，∵y+1＝2x，∴x＝log2(y+1)，∴f－1(x)＝log2(x+1)(x∈(－1，+∞))．
∵f－1(x)≤g(x)，∴log2(x+1)≤log2，∴0<x+1≤，解得0≤x≤1.
9．(2009·成都市一诊测)设函数f(x)＝e2(x－1)，y＝f－1(x)为y＝f(x)的反函数，若函数g(x)＝，则g[g(－1)]＝________.
答案：1
解析：依题意得g(－1)＝－1+2＝1，g[g(－1)]＝g(1)＝f－1(1)．设f－1(1)＝t，则有f(t)＝1，即e2(t－1)＝1，t＝1，所以g[g(－1)]＝1.
8．(2009·保定市调研)若函数f(x)＝log2的定义域和值域均为[1，+∞)，则实数a的取值集合为( )
A．{0} B．{a|0≤a≤1}
C．{a|a≥0} D．{a|a≥2}
答案：A
解析：由题意得，log2≥1在x≥1时恒成立，即≥2在x≥1时恒成立；
而≥2即x++a≥2，函数g(x)＝x++a在[1，+∞)上为增函数；
∴g(x)≥g(1)＝1+1+a≥2恒成立，∴a≥0.
由g(x)在[1，+∞)上为增函数，可知f(x)在[1，+∞)也为增函数，∴f(1)＝1，∴a＝0，选A.
7．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，+∞) B．(0,2)
C．(－∞，－1)∪(3，+∞) D．(－1,3)
答案：C
解析：当x0∈[2，+∞)时，由f(x0)＝log2(x0－1)>1，得x0>3；
当x0∈(－∞，2)时，由f(x0)＝()x0－1>1，得x0<－1.所以x0∈(－∞，－1)∪(3，+∞)．故选C.
显然p1<x0＝P2－[(p2－p1)－log32]<p2，这表明x0在p1与p2之间．
