若平面内一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比等于一个常数则动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点为焦点，定直线为准线，为离心率。当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线。

(1)抛物线的定义：平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹。

其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。

(2)抛物线的标准方程、图象及几何性质：

	焦点在轴上， 开口向右	焦点在轴上， 开口向左	焦点在轴上， 开口向上	焦点在轴上， 开口向下
标准方程
图　 形
顶　 点
对称轴	轴	轴
焦　 点
离心率
准　 线
通　 径
焦半径
焦点弦	(当时，为--通径)
焦准距

(1)双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹。

第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。

常数叫做离心率。

注意：与()表示双曲线的一支。表示两条射线；没有轨迹；

(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质：

	中心在原点，焦点在轴上	中心在原点，焦点在轴上
标准方程
图　 形		y
顶　 点
对称轴	轴，轴；虚轴为，实轴为
焦　 点
焦　 距
离心率	(离心率越大，开口越大)
准　 线
渐近线
通　 径	(为焦准距)
焦半径	在左支 在右支	在下支 在上支
焦准距

(3)双曲线的渐近线：

①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。

②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；

(4)等轴双曲线为，其离心率为

(1)椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹。

第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。

常数叫做离心率。

注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；

(2)椭圆的标准方程、图象及几何性质：

	中心在原点，焦点在轴上	中心在原点，焦点在轴上
标准方程
参数方程	为参数)	为参数)
图　 形		A1
顶　 点
对称轴	轴，轴；短轴为，长轴为
焦　 点
焦　 距
离心率	(离心率越大，椭圆越扁)
准　 线
通　 径	(为焦准距)
焦半径
焦点弦	仅与它的中点的横坐标有关	仅与它的中点的纵坐标有关
焦准距

圆锥曲线部分

10. 如图，已知的面积为m，且

　　 (I)若，求向量与的夹角的取值范围；

　　 (II)设，且。若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程。

　　 解：(I)的面积为m，设向量与的夹角为

　　 　　　　　　　 ①

　　 ，　　　　　 ②

　　 由①、②得：

　　 即向量与的夹角的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　 6分

　　 (II)如图，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系

　　 设，P点坐标为(x₀，y₀)

　　 ，

　　 ，，

　　 设，当时，任取

　　 有

　　 当时，

　　 ，在［2，)上是增函数

　　 当时，为最小，从而为最小，此时P()

　　 设椭圆的方程为，则

　　 故椭圆的方程为　　　　　

(答：C)；(答：双曲线的左支)(答：2)

(答：)；(答：)(答：)；(答：)(答：)(答：3或)；(答：)(答：或)；(答：4或)；(答：)；(答：)；(答：(-,-1))(答：[1，5)∪(5，+∞))；(答：3)；(答：2)；(答：)；(答：相离)；(答：1)；(填大于、小于或等于) (答：等于)；(答：)；(答：①；②)；(答：)；(答：)；(答：)；(答：2)；(答：)；(答：6)；(答：)；(答：)；(答：)；(答：)；(答：8)；(答：3)；(答：)；(答：)；(答：)(答：)(答：或)(答：)；(答：)；(答：)；(答：双曲线的一支)；(答：)；(答：)；(答：)；(答：)；(答：(1)略；(2)；(3)当时不存在；当时存在，此时∠F₁MF₂＝2)

9. 已知抛物线方程为，过点的直线AB交抛物线于点A、B。

(1)若，求直线AB的方程；

(2)若线段AB的垂直平分线交轴于点，求的取值范围。

解：设直线AB的方程为，点，

把代入抛物线方程可得：

∴，

∴，

(1)∵

∴

∴

又

∴

∴直线AB的方程为。

(2)设线段AB的中点C的坐标为

则直线CQ的方程为：

令，则

又由且得：或

则

∴的取值范围为。

7. 已知：过点A(1，0)且互相垂直的两动直线与直线分别相交于E、F两点，O为坐标原点，动点P满足

　　　　　　　　 (1)求动点P的轨迹C的方程；

　　　　 (2)若直线中轨迹C交于M、N两点，且，求k的取值范围.

解：(1)设点P的坐标是(x，y)

　　　 　　　　　　　　　　　 ………………2分

　　　 ∴点P轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………6分

(2)由

有两交点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………8分

　　　　　 ………………9分

6. 圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，直线过F₂与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点.

　　 (1)当时，求直线的方程；

　　 (2)当的夹角为120°时，求直线的斜率k的值.

解：(1)

　　　 ∴所求直线方程为.

　　　 (2)又

2.解Ⅰ)设，则，即：

，化简得：．

所以，动点Q的轨迹为抛物线位于直线右侧的部分．

(Ⅱ)因为，所以，P为AB中点；又因为，且=(,0)，

所以，点E为线段AB垂直平分线与x轴焦点．

由题可知：直线与轴不垂直，所以可设直线的方程为，

代入轨迹C的方程得到： (＊)

设，要使得与C有两个不同交点，需且只需

解之得：

由(＊)式得：，所以，AB中点P的坐标为：

，．所以，直线EP的方程为

令得到点E的横坐标为．因为，所以，∈(，－3)．

(Ⅲ)不可能．要使成为以EF为底的等腰三角形，需且只需，

即：，解得：．

另一方面，要使直线满足(2)的条件，需要，

所以，不可能使成为以EF为底的等腰三角形．