10、直线和平面所成的角

(1)定义　 和平面所成的角有三种：

(i)垂线 　面所成的角　 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

(ii)垂线与平面所成的角　 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.

(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.

(2)取值范围：　　　　　　　　　

(3)求解方法

①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.

②解含θ的三角形，求出其大小.

9.空间中的各种角

等角定理及其推论

定理:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

推论:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

异面直线所成的角

(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.

(2)取值范围：　　　　　　　　　 .

(3)求解方法

①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；

②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.

7.射影及有关性质

(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.

(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.

(4)射影的有关性质

从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：

(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；

(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；

(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.

6.线面平行与垂直的判定

(1)两直线平行的判定

①定义：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

②判定定理　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，即若a∥α,a?β，α∩β=b,则a∥b.

③公理4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，即若a∥b,b∥c,则a∥c.

④线面垂直的性质定理　　　　　　　　　　　　　　　　 ，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b

⑤面面平行的性质定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b

　(2)两直线垂直的判定

①定义：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c

③线面垂直的定义　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .即若a⊥α,bα，a⊥b.④三垂线定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.

　(3)直线与平面平行的判定

①定义：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

②判定定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .即若aα,bα，a∥b,则a∥α.

③面面平行的定义　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，即若α∥β,lα，则l∥β.

　(4)直线与平面垂直的判定

①定义：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

②线面垂直的判定　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.

③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.

④面面平行的性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.

(5)两平面平行的判定

①定义：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，即无公共点α∥β.

②面面平行的判定　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.

③　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.

④　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.

　(6)两平面垂直的判定

①定义：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，即二面角α－a－β=90°α⊥β.

②面面垂直的判定　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，即若l⊥β,lα，则α⊥β.

③　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.

(7)线、线关系和线、面关系的辨证法

5.异面直线的判定

证明两条直线是异面直线通常采用反证法.

有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.

4.空间线面的位置关系

　　　　　　　　　　　 平行-没有公共点

　　　　　　　　 共面

(1)直线与直线　　　　 相交-有且只有一个公共点

异面(既不平行，又不相交)

　　　　　　　 直线在平面内-有无数个公共点

(2)直线和平面　 直线不在平面内　 平行-没有公共点

　　　　　　　 (直线在平面外)　 相交-有且只有一个公共点

　　　 　　　　　相交-有一条公共直线(无数个公共点)

(3)平面与平面

　　　　　　　　 平行-没有公共点

2.平面的基本性质

公理1　 _________________________________________________________________.

公理2 __________________________________________________________________.

公理3　 _______________________________________________________________.

推论1___________________________________________________________________.

推论2　 ___________________________________________________________________.

推论3　 ___________________________________________________________________

	间接证法

1、平面：几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示.

(1)平面的表示方法：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

(2)用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：A∈l表示　　　　　 上；　

________表示点A不在平面α内；__________表示直线l在平面α内；　

_________表示直线a不在平面α内；l∩m=A表示_____________________；

α∩l=A表示平面_______________；α∩β=l表示_______________________.

16.有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计)．有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剰余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长． (1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的的最大容积V₁； (2)请你判断上述方案是否最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最少，且所得长方体容器的容积V₂＞V₁．

15.如图，为所在平面外一点，平面，，于，于，求证：(1)平面；(2)平面；(3)平面．